Théorie in/initésimale aiipliquée, 153 



C =cm + X — ym.... (<) 



Cela posé; si x — j/m^O, on a C= cm. Or déjà P=pm; il n'y a donc 

 aucune erreur finale à supposer que P et p coïncident entièrement avec 

 C et c. D'ailleurs l'égalité x — ym= est vraie pour x = et y = 0. 



Mais si la différence a; — j/m n'est pas nulle, elle est nécessairement va- 

 riable. En effet , les deux polygones réguliers ne cessent pas d'être sembla- 

 bles, et par conséquent l'égalité (0 subsiste toujours, lorsque le nombre 

 infini n de côtés devient de deux en deux fois plus grand. Mais alors les 

 périmètres P et p , ayant de deux en deux fois plus de points communs avec 

 les circonférences C et c , approchent de plus en plus de co'incider avec ces 

 deux courbes, et les différences x el y diminuent de plus en plus. Ces deux 

 différences sont donc variables, aussi bien que la différence x —ym, toujours 

 moindre que l'un de ses termes. Et puisque l'égalité (1) est toujours exacte, 

 les quantités C, c, m restant constantes, il résulte de cette égalité que la 

 quantité constante C sera toujours variable ; chose absurde. Or, d'où vient 

 cette absurdité ? C'est évidemment de l'hypothèse que la différence x — ym 

 n'est pas nulle et par conséquent de l'hypothèse que P etp ne coïncident pas 

 avec C et c ; donc chacune de ces hypothèses est absurde elle-même et l'ou 

 a toujours C = cm. 



On voit que : 1» On ne commet aucune erreur finale en affirmant que le 

 cercle est un polygone régulier d'une infinité de côtés infiniment petits , 

 dont le rayon et l'apothème sont égaux entre eux et dont chaque angle exté- 

 rieur est égal à l'angle infiniment petit au centre. 



2° Tous les cercles sont semblables , comme polygones réguliers d'un même 

 nombre infini de côtés ; d'où résulte aussi que toutes les circonférences sont 

 des courbes semblables, ayant la même forme et ne différant que par leurs 

 longueurs. 



Observons d'ailleurs que pour calculer le rapport ir des longueurs de la 

 circonférence et de son diamètre , le procédé le plus élémentaire exige l'em- 

 ploi d'une série de radicaux du second degré, tous irréductibles et inexpri- 

 mables en chiffres ; le rapport ^ est donc lui-même inexprimable : c'est une 

 fraction , toujours inconnue, dont les deux termes infinis n'ont point de fac- 

 teur infini commun. Delà résulte que la circonférence et son diamètre n'ont 

 d'autre commun diviseur qu'un droite infiniment petite , contenue une infinité 

 de fois dans la circonférence ; laquelle est une ligne brisée , etc. 



On démontre , comme pour le cercle , et à l'aide du procédé des projections 

 orthogonales, que toute figure plane, mixte ou curviligne, peut toujours, sans 

 aucune erreur finale, être regardée comme un polygone rectiligne d'une infi- 

 nité de côtés infiniment petits. 



Des infinuient petits matériels. Comme il existe des quantités matériel- 

 les finies très-petites, toujours visibles, la dénomination de très-petite ne 

 suffit pas pour désigner clairement, ni pour distinguer des quantités finies, la 

 quantité x dont un cheveu croit par seconde de durée. Car celte quantité x est 

 invisible , inconnue et variable, vu que le 'cheveu croît plus vite en été qu'en 

 hiver ; enfin , x échappe , par sa petitesse, à tous nos moyens rigoureux de 

 mesurage et d'appréciation, absolument comme Vin&aimenl petit géométrique. 



