Théorie infinilhini. appliquée. 153 



La première de ces équations représente une courbe parabolique carra- 

 blé , ayant k a; = o un point de rebroussement. — La seconde exprime la 

 surface composée de deux nappes finies depuis a; = jusqu'à x = a. limi- 

 tant deux volumes l'un double de l'autre. — La troisième équation désigne la 

 surface formée de deux nappes finies, depuis x = Q jusqu'à x = ±a, limi- 

 tant deux volumes égaux, chacun équivalent au quart de la sphère dont a 

 est le rayon. Cette surface a deux sections elliptiques maximum, parallèles 

 au plan A& stjmêtrie des yi. Le plan des a:3 coupe la surface suivant la /em- 

 niicate dont l'aire est mesurée par Î.a2, etc. — Enfin la dernière surface se 

 discute absolument comme la précédente. 



Remarques. Les Géomètres qui rejettent encore l'emploi explicite des infi- 

 nis, sous prétexie que ces grandeurs n'existent pas on du moins que les 

 notions en sont obscures , conviennent cependant que cet emploi conduit, 

 avec une merveilleuse rapidité , à des résultats reconnus exacts par des pro- 

 cédés beaucoup plus compliqués , mais qu'ils regardent comme plus ri- 

 goureux (bien que ces procédés, dits plus rigoureux, soient parfois des 

 non-sens). Au lieu donc de recourir à des détours obscurs , à des procédés 

 fort compliqués , il est bien plus naturel de chercher, dans la méthode infi- 

 nitésimale même , la cause de l'exactitude logique des résultats que cette 

 méthode donne avec tant de facilité. Or, cette cause n'est autre que \eprin- 

 cipe par compensation d'erreurs finales. Il est singulier que ce principe , déjà 

 signalé par Carnet, avant <813 (Réflexions sur la métaphysique du calcul 

 infinitisémal) , ne soit pas démontré, ni même mentionné, dans les traités 

 élémentaires où la théorie des variables , qui fournit le principe infinitési- 

 mal ci-dessus , est cependant nécessaire pour donner à ces ouvrages toute 

 la simplicité et toute la rigueur logique dont ils sont susceptibles. 



Par exemple, si dans l'expression de la somme S des n premiers termes 

 d'une progression géométrique, on suppose que S désigne la génératrice de 

 cette progression , il est clair que cette génératrice étant constante, ne sau- 

 rait dépendre du nombre variable n de termes calculés dans son développe- 

 ment. Donc le terme fonction de n doit disparaître de l'expression de S : 

 autrement la quantité constante S serait toujours variable; chose absurde. 



De même , si dans l'expression de la somme S des n premiers termes d'une 

 série récurrente du second ordre, on suppose que S désigne la génératrice 

 constante de cette série , les deux termes , fonctions de n et variables avec n, 

 doivent disparaître de l'expression de S pour avoir la génératrice cherchée. 



On trouvera de même la fraction algébrique , génératrice par division de 

 toute série réctirrente du troisième ordre. 



On sait d'ailleurs que la méthode des coefficients indéterminés est néces- 

 saire pour développer , avec facilité, les fractions algébriques en séries ré- 

 currentes et surtout pour bien mettre en évidence la loi de formation de ces 

 séries. On sait de plus que la théorie des variables démontre très-simple- 

 ment le principe fondamental de la méthode des coefficients indéterminés et 

 le principe infinitésimal. Celui-ci d'ailleurs justifie l'appréciation ci-dessous 

 de Carnot, dans l'ouvrage cité (édition de 1813, p. 215) : 



Le mérite essentiel , le sublime , on peut le dire , de la méthode infinité- 

 simale , est de réunir la facilité des procédés d'un simple calcul d'approxi- 



