206 A. Paque. — Quelques questions de Géomélrie 



BDFG , dont les bases supérieures se coupent en P, point consi- 

 déré du contour de la ligure ABCD. 



Prolongeons AB et FG, AB et IIG jusqu'à leurs rencontres res- 

 pectives R et Q; parle point D , menons DS parallèle ;\ HQ, et 

 l'ou aura les équivalences 



ACFIK = ACPQ 

 BDFG=BDPR 

 BDPR = DPQS. 



Car ces parallélogrammes ont deux à deux mémo base et même 

 hauteur. Additionnant ces égalités membre à membre, il viendra 



ACIIK + BDFG = ACPQ + DPQS. 

 D'ailleurs 



ACPQ + DPQS = ACDS = ABCD. 

 Donc : 



ACHK+BDFG=ABCD. 



Théorème. 



Si l'on joint par des droites le sommet de l'angle de 

 deux côtés consécutifs d'un quadrilatère circonscriptible avec 

 les centres des cercles tangents à ces côtés en leurs extrémités 

 non communes et à leurs côtés opposés respectifs, les droites 

 ainsi tirées sont également inclinées sur les côtés de l'angle 

 considéré. 



Démonstration. Le centre 0, (Fig. 2, PI. II) du cercle inscrit 

 dans le quadrdalère proposé appartient à la fois aux bissectrices es 

 angles du quadrilatère, ainsi qu'à celles des angles des côtés op- 

 posés. 



Soient donc OS, et OS' les bissectrices des angles formés par 

 (AB, CD) et (AD, BC). 



Il est évident que le point 0' centre de cercle langent en B au 

 côté AB et à son opposé CD , étant équidistant de ces lignes , ap- 

 partient à la droite OS ; de même, que 0" centre du cercle tangent 

 en D au côté AD et à son opposé BC, est situé sur OS'. Tirons 

 0"A , O'A : il faut prouver que 



A A 



0"AD = 0'AB. 



Cherchons pour cela à établir que les triangles reelanglcs 0"AD 



et O'AB ont les côtés respectivement proportionnels. 



