tl d'Analyse algébrique. 211 



Théorème. 



Soit (P\.llï)le quadrilalère ABCD ; E Fintersection des côtés BC, AD; 

 F l'intersection de AB, CD. Prewoîis un point quelconque T sur la 

 diagonale AC; par les deux points A et T faisons passer tin i" 

 cercle; par C ff T un deuxième cercle : le premier cercle coupe 

 AD en P et AB en Q ; le deuxième cercle coupe BC en R et CD 

 en S. Par les points Q, B^ R faisons passer un troisième cer- 

 cle , et par les points P, D, S un quatrième cercle: Ces deux 

 derniers (troisième et quatrième) couperont la diagonale BD au 

 même point {]. Menons un cinquième cerc/e par les points P, 

 E, R et un sixième cercle par les points Q , F, S : ces deux 

 derniers cercles coupent la troisième diagonale EF au même 

 point V. 



Les six cercles se coupent au même point Z, et tes six arcs 

 ZA, ZB, ZC, ZD, ZE, ZF, pris d'un même côté sont sem- 

 blables. 



Soit G l'intersection des deux diagonales AC, BD ; les quatre 

 points G, U, T, Z sont sur une même circonférence. 



Soit H l'intersection des diagonales AC, EF ; les quatre points 

 H, V, T, Z sont sur une même circonférence. 



Soit enfin I l'intersection des diagonales BD, EF ; les quatre 

 points U, 1, V, Z sont sur une même circonférence. 



Démonstration. Rappelons les deux propriétés suivantes très-con- 

 nues et faciles à établir. 



Théorème (a). Si par les sommets d'un triangle on fait passer trois 

 circonférences se coupant deux à deux sur les côtés du triangle , 

 ces trois lignes concourent en un même point. 



Théorème (al). Si trois circonférences passant par les sommets 

 d'un triangle se coupent , la première et la deuxième, la deu- 

 xième et la troisième sur les côtés du triangle , si la troisième 

 circonférence en passant par le point d'intersection des deux 

 premières, coupe l'une de celles-ci sur l'un des côtés du triangle , 

 elle passe par le point d'intersection de l'autre circonférence 

 avec le second côté de l'angle par le sommet duquel la troisième 

 circonférenee est tracée. 



