222 A. Paque. — Quelques qncxtions de Géamélrie 



D'où (Fig. 3, Pi. II). 



AD>BE. 



Mais dès que les points A' cl E' seront de côtés différents de D'P 

 roii ne peut dire généralement 



A'D' > A'E 



puisqu'il se peut très bien alors que l'on ait : 



AD < A'E'. 



C'est ce qu'il est aisé de reconnaître dans le triangle opposé (Fig. 

 3, PI. II). 



En effet si B <^ 1 et que l'on considère le minimum de AD, 

 c'est-à-dire la hauteur Ad du triangle, on a 



AB > Ad. 



Or, il est clair que la circonférence de rayon Ad que l'on décri- 

 rait du point B comme centre couperait le côté AC en deux points 

 dont un seul e , le plus voisin de A, peut donner lieu à une transver- 

 sale issue de B et satisfaisant aux conditions imposées par l'énoncé 

 du tliéorèmc. On a ainsi 



Ad^Be. 



Et pour tout point e compris entre A et e , on aura 



Arf < Be. 



Désignons les angles DAB et tBA respectivement par y' et x et 

 prouvons que pour Ad < Be, on a 



y' > a;'. 



La demie circonférence décrite sur AB comme diamètre sera 

 rencontrée par l'arc de cercle qui a déterminé e, en d' ; tirons Bd' 

 qui coupe AC en p; le point e sera évidemment situé entre A et 

 p , ce qui donne : 



eBA <d'BA 

 ou 



cBA < dAB 



x' < y'. 



Le théorème énoncé est donc en défadt duns ce cas; c'est ce qu'il 

 était important de reconnaître. 



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