462 J.-N. IVoEL. — Simplification des ciémcnts 



avoir a =6, on commet deux erreurs ; mais ces deux erreurs se 

 compensent on se détruisent to\ijours,el il n'y a point d'erreur finale. 

 On vient de voir, en effet, que, dans l'équalion finale ci-iles^us , 

 toujours rxaclc, les termes varialilcs x et y peuvent en ilis|)3raitre , 

 sans la détruire. Or, cela exige que ces deux termes, qui ne sont 

 jamais nuls, soient toujours égaux entre eux et qu'on ait x = y ou 

 X — y = 0. De sorte que l'erreur finale est rigo(U'cusement nulle. — 

 On voit de plus que l'équation finale proposée est la somme des 

 deux a =6 et .r = ?/. 



De même, dans l'équation finale a — x = b — y, on a rigoureu- 

 sement a=6 et a;= ?/. Pareillenieni, a — x = y — 6 donne a= — h 

 ft — X =y , ou encore a + 6 = ci x -\- y = ^ . 



3. Mais si, dans a = b + cx, les grandeurs a, b, c lestent con- 

 stantes pendant que la variable x diminue ou augmente , x pouvant 

 devenir infiniment petite ou infinie, sans jamais devenir nulle et 

 sans que l'égalilé des deux membres cesse d'exister , c'est une 

 preuve que l'équation proposée est absolument indépendante du 

 terme variable ex, lequel est ici auxiliaire; et par suite on a rigou- 

 reusement a=^b. D'ailleurs, si le terme variable ex devait être con- 

 servé dans l'équation a = b-^cx, toujours exacte, la grandeur 

 constante a serait toujours variable; cliose absurde. Le terme ex 

 disparaît donc de l'équation , non parce qu'il est nul , mais unique- 

 ment parce qu'il est variable, et l'on aura toujours o = 6, sans au- 

 cune erreur finale. 



Par exemple, si de l'expression b — ex de la somme des n pre- 

 miers termes d'une progression géométrique, dont la raison diffère 

 de l'unité, on veut déduire la génératrice constante , alors désignée 

 par a ; il est clair que, dans l'équation finale a = b — ex, toujours 

 exacte, les nombres a, b, c sont constants, mais x varie avec n, 

 sans jamais devenir nul et sans que l'égalité des deux membres cesse 

 d'exister : donc a = b. — Il est évident, en effet, que la génératrice 

 constante d'une progression géométrique ne saurait dépendre au- 

 cunement du nombre variable n de termes calculés dans son déve- 

 loppement. Il en est de même de la génératrice constante de toute 

 série récurrente du second ordre , dn troisième, etc. 



Observons toutefois que, dans la démonstration du principe fon- 

 damental t]e la méthode des coefficients indéterminés , où la variable 

 ac n'est jamais nulle, le coefficient c est fonction de x , et le terme 

 ex disparait parce que c=0; d'où a=b. 



4. Reprenons l'équation finale, toujours exacte, a -{■ x=b-{- y, 



