iGi .I.-N. Noël. — Simplification des élément!' 



celle démonstration paraîl-nllc plus rigoureuse que la précédeiUe, 

 indiquée à la p. 74 ci-dessus? C'est que cette dernière est incom- 

 plète et que « si la différence y — x était variable, ce ne serait 

 » point parce qu'elle est moindre que l'un de ses termes varia- 

 » blés. I) (Revue, p. 22). — J'ai toujours cru cotte raison sufTi- 

 sante; et l'on vient de démontrer (n"'/i. et S) que la différence»/ — x 

 n'est constante que quand elle est nidle. Or, si l'on veut que celte 

 différence soit toujours constante , comme dans les raisonnements 

 [Revue, p. 73, 74 et p. 221 et 222) et si l'on prétend que ces rai- 

 sonnements démontrent que »/ — x = 0, on reconnaîtra du moins 

 que cette démonstration est fort obscure. Il faut remarquer d'ail- 

 leurs que les variables ne peuvent diminuer indéfiniment ensemble 

 que par voie de division. — Nous verrons plus bas d'autres objections 

 opposées , dans la Revue citée, aux raisonnements n'" 3 et 4, ob- 

 jections qui ne sont pas plus fondées que les précédentes; et celles- 

 ci n'atteignent pas les raisonnements n°' 1 et 2. 



7. Maintenant, pour simplifier le plus possible la géométrie élémen- 

 taire, en y rendant plus complètes la clarté et l'exactitude logique qui 

 distinguent si éminemment les théories de cette science importante, 

 j'ai reconnu depuis longtemps qu'il fallaitd'abord modifier plusieurs 

 définitions et tâcher de donner à celles-ci toute l'évidence et toute 

 la précision de véritables axiomes ; ce qui est très-possible pour la 

 droite, la courbe, le plan, l'angle, le rapport, etc., en définissant 

 chaque fois d'après la propriété caractéristique , évidente ou rendue 

 telle, par la génération de la chose définie. C'est ainsi , par exem- 

 ple, qu'il faut appeler %ne coarôe, ou simplement courbe, toute 

 ligne qui n'est ni droite ni composée de droites visibles et apprécia- 

 bles; ou bien encore, toute ligne n'ayant aucune partie visible et 

 appréciable qui soit droite. — La ligne mixte est composée de par- 

 ties , droites ei courbes contigûes. 



8. Pour établir une théorie claire, simple et rigoureuse des pa- 

 rallèles , je n'ai trouvé d'autres moyens que i\c perfectionner la défi- 

 nition obscure et inconiplèle de l'angle, en l'énonçant en termes 

 clairs, précis et parfiiitcment intelligibles à tous les élèves d'après 

 les notions déjà acquises. Voici cet énoncé , un peu développé; 



On appelle angle la portion plane dont deux droites illimitées ou 

 indéfinies , parlant d'un même point , sont écartées l'une de l'autre , 

 quant 5 leur position sur le plan. Ce point est le sommet de l'angle , 

 et les deux droites en sont les côtés. 



Celle définition caractérise clairement et fait bien connailre tout 



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