de géométrie. ^.q/ 



ECD : donc aussi l'angle externe EAB est plus grand que rnngle 

 interne correspondant ECD. Ce qu'il fallait démontrer. 



^ Ce théorème fondamental a pour réciproque le fameux poslulattmi 

 d'Euclidc, servant à démontrer, de la manière la plus simple , les 

 propriétés des droites parallèles. Et quant an théorème direct ci- 

 dessus, il démontre toutes les circonstances où deux droites, situées 

 dans le même plan , sont parallèles , c'est-à-dire ne peuvent jamais 

 se rencontrer, quelque loin qu'on les suppose prolongées l'une et 

 l'autre dans les deux sens. C'est ainsi , par exemple , que : 



Dans le même plan , deux droites AB et CD sont parallèles lors- 

 que, coupant en G et H une même troisième EGHF, elles font avec 

 celle-ci les deux angles correspondants ou externe-interne EGB et 

 EHD égaux entre eux. (Ces deux angles pourraient être droits). 



D'abord, comme les angles op[)osés au sommet sont égaux, on 

 voit que les deux angles correspondants ou interne-externe AGF et 

 CHF sont aussi égaux entre eux. Ensuite , si GB et HD suffisam- 

 ment prolongées, pouvaient se rencontrer en un point 0, l'anMo 

 externe EGB serait plus grand que l'angle interne EHD; contrai- 

 rement à l'hypothèse. On verra de même que GA et HC, prolon- 

 gées, ne sauraient se rencontrer. Donc les deux droites AB et CD, 

 prolongées indéfiniment dans les deux sens, ne se rencontrent point ;' 

 donc elles sont parallèles. Ce qu'il fallait démontrer. 



De là résulte immédiatement la démonstration de chacune des 

 autres propositions relatives au parallélisme des deux droites AB 

 et CD. 



Observons que l'angle EGB étant égal à l'angle EHD, la surface 

 indéfinie EGB est aussi égale à la surface indéfinie EHD. On ne 

 peut donc pas dire, malgré l'apparence , que la première surface est 

 une partie de la seconde ; d'abord parce que ce serait dire que l'an- 

 gle EGB est plus petit que EHD, contrairement à l'hypothèse; et 

 ensuite, parce que si la surface indéfinie EGB était une partie de 

 la surface indéfinie EHD , la seconde partie serait la surface indé- 

 finie BGHD ; celle-ci devrait donc être de même espèce , chose ab- 

 surde , puisque ce n'est pas la surface indéfinie d'un angle. Il est 

 évident, en effet, que les deux parallèles GB et HD ne pouvant 

 jamais se rencontrer, pas même à l'infini , ne sont côtés d'aucun 

 angle; vu que cet angle n'aurait point de sommet. Il n'y a donc ici 

 aucun écart; et voilà pourquoi l'on dit que les deux parallèles 

 GB et HD font entre elles un angle nul : celui-ci est retranché de 

 l'angle EHD par la droite GB ; il n'est donc pas étonnant que l'an- 



