468 J.-N. NoiiL. — Simplification des éliments 



jîle restant soit égal à l'angle proposé. — Ainsi on ne prouve pas 

 que l'angle n'est point vne surface , en disant que si cela était « la 

 partie EGB serait égale au toiif EHD ; » vu que la surface EGB n'est 

 pas une partie de EHD. 



11. Venons maintenant au théorème, poHulatum d'Euclide , sa- 

 voir : Si dans le même plan , l'angle externe EAB est plus grand et 

 plus ouvert que l'angle interne correspondant ECD ; je dis que les 

 deux (ôlés non comnnins AB et CD finissent toujours par se couper , 

 étant suffisamment prolongés. 



D'abord, en prolongeant les côtés AB et CD autant qu'on le veut, 

 les deux angles EAB et ECD restent absolument les mêmes. En- 

 suite, puisque l'angle EAB est plus grand que l'angle ECD, la sur- 

 face indéfinie EAB est aussi plus grande que la surface indéfinie 

 ECD , et cela uniquement parce qu'elle est plus ouverte que celle- 

 ci. Déplus, bien que la surface indéfinie EAB n'ait encore qu'une 

 partie tracée dans la surface plus petite ECD , il est clair qu'elle ne 

 peut rester contenue dans cette dernière et qu'en prolongeant suffi- 

 samment les côtés, elle en sortira tôt ou tard. Or , il est évident 

 que la surface EAB ne peut sortir de la surface ECD ni par le côté 

 CE, limiie couimuiie , ni dans le sens indéfini des ouvertures; 

 donc elle en sortira par les deux côtés non communs AB et CD, 

 lesquels se couperont nécessairement en un point, fùt-il même si- 

 tué à l'infini. 



Cette démonstration très-simple du théorème, postulatum d'Eu- 

 clide , é(ant une conséquence rigoureuse des définitions, est comme 

 celles-ci, d'une exactitude complète et d'une clarté comparable à 

 celle des axiomes. Ce théorème simplifie beaucoup les démonstra- 

 tions des propriétés des |)arallèles. Euclide ne pouvait démontrer le 

 théorème ci-dessus ; car sa définition de l'angle ne lui en faisait 

 pas connaître la double propriété caractéristique, d'être une por- 

 tion plane indéfinie et d'être d'autant plus grand que YécartelVouver- 

 ture des deux côtés sont [iliis grands eux-mêmes. Ce n'(St sans doute 

 qu'en désespoir de cause qu' Euclide lit de ce théorème un ;jos/M/a?, 

 d'ailleurs difficile à accorder, bien qu'il ait des caractères d'évi- 

 dence, ainsi que celui plus simple de Lacroix. 



Ce dernier est justifié par l'auteur en disant : « La notion de la 

 » ligne droite ou la sensation qui nous fait connaître si un aligne- 

 » ment est bien pris, montre même l'endroit où l'oblique rencon- 

 p tre la perpendiculaire. » (Essai sur l'enseignement). 



12. Dans la Revue pédagogique de 1853, où , ainsi que je l'ai 



