de fjiométrte. jîGS 



fait dans le Résumé des méthodes élémentaires , on reconnaît la né- 

 cessité de démontrer le postulat d'Euclide , on dit (p. 76) : « Quel- 

 » ques auteurs ont cru écarter la difficulté en perfectionnant, 

 » comme ils disent , la définition de l'angle. La démonstration fon- 

 » damentale de la théorie des parallèles , qui est sortie de ce pré- 

 » tendu perfectionnement , consiste à affirmer que les côtés des 

 » angles interne-externe doivent se rencontrer , parce que l'angle 

 » externe étant plus grand que son correspondant , ne peut rester 

 » renfermé dans celui-ci. Ce raisonnement , qui fait voir au simple 

 » coup-d'œil que les lignes doivent se rencontrer dans la figure 

 » qu'on a sous les yeux , est sans portée scientifique pour la dé- 

 » nionstration du théorème dont il s'agit : il revient, quant au fond, 

 » à cette théorie des sensations que Lacroix aurait voulu appliquer 

 » à la géométrie. » 



D'abord la démonstration ci-dessus n'exige pas que la figure pro- 

 posée soit sous les yeux, ce qui d'ailleurs n'est possible, le plus 

 souvent, que par la figure semblable ou supposée telle , mais suffi- 

 sante pour diriger les raisonnements ou les rendre plus clairs et 

 plus faciles. Ensuite quand même la figure serait sous les yeux pour 

 y voir, au simple coup-d'œil , l'endroit où les côtés non communs 

 se rencontrent, cet endroit serait absolument invisible, s'il devait 

 être fort éloigné. Il y aurait donc alors doute sur l'existence de l'in- 

 tersection ; et c'est alors que la démonstration ci-dessus devient in- 

 dispensable. Il en résulte qu'il y aura toujours intersection ; mais 

 que le point , où les deux côtés vont se couper, est situé à l'infini 

 quand l'angle externe surpasse infiniment peu l'angle interne cor- 

 respondant. 



13. L'auteur de la critique précédente attaque de nouveau la dé- 

 monstration ci-dessus dans la Revue, déjà citée plusieurs fois. — 

 Je ferai d'abord observer que si les élèves connaissent la véritable 

 définition de l'angle, ils ne peuvent tirer aucune des conclusions 

 indiquées 1°, p. 224. 



Ensuite je remarque, pour 2°, que les partisans et les non-parti- 

 sans de l'infini se trompent évidemment lorsqu'ils admettent que : 

 « se rencontrer à l'infini et être parallèles sont deux locutions expri- 

 i> mant la même chose, savoir : qu'il n'y a point de reneontre. » — ; 

 L'absurdité est flagrante : si les deux droites se rencontrent à l'infini 

 et y forment par conséquent un angle infiniment petit, elles ne 

 sont donc point partout également distantes, et ne peuvent être pa- 

 rallèles. — Observons toutefois que pour certaines applications géo- 



CO 



