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métriques, on peut, sans erreur finale appréciable, regarder l'angle 

 infiniment pclil comme nul et les deux droites comme parallèles; 

 mais ces deux droites ne se rencontrent pas moins en un point si- 

 tue à l'infini , et partant ne sont point parailcies. 



Dans 3°, on dit : « La grandeur de l'angle externe EAB et son 

 » sommet A ont seuls servi à déterminer la droite AB. Ces deux 

 i> conditions et la possibilité de prolonger la droite qu'elles déter- 

 » minent, senties seules bases sur lesquelles on puisse établir la 

 Il démonstration du tbéorème. "> — Ce sont en elTet les seules bases 

 employées. Mais il y a contradiction à dire ensuite : « La grandeur 

 » de l'angle EAB dans le sens de l'ouverture, étant sans influence 

 x sur la direction (la position) du côté AB , est également sans in- 

 II flucnce sur le point de rencontre et ne peut, par conséquent, servir 

 » aucunement à démontrer que ce point existe. » — La contradic- 

 tion est ici manifeste; car la grandeur de l'angle n'a pas lieu dans le 

 sens de l'ouverture ou du prolongement des côtés, comme on le 

 suppose , contrairement à la définition. Que signifie donc la conclu- 

 sion énoncée, p. 223, pour infirmer la démonstration plus liant? 

 Rien , absolument rien ; et cette démonstration n'en reste pas moins 

 très-claire, très-simple et rigoureuse. 



14. On connaît les travaux de Lcgendre pour démontrer com- 

 plètement la théorie des parallèles ; ce à quoi il n'est parvenu que 

 dans la note H de ses éléments de géométrie, 12"° édition. Il y re- 

 garde l'angle comme une portion ouverte du plan indéfini , et, après 

 avoir démontré fort simplement le postulat de Lacroix, il ajoute, 

 p. 280 : « Nous laissons aux géomètres à décider si cette démons- 

 » tration ne mériterait pas d'être admise dans les éléments , de pré- 

 » férence à toute autre, pour rétablir la marche d'Euclide devenue 

 » entièrement rigoureuse par la suppression de son postulatum. » 



13. Lorsqu'on définit l'angle » une figure de deux cotés , » il y a 

 de graves inconvénients à fonder la théorie des parallèles sur un 

 postulat, dorit l'évidence complète peut toujours être contestée , et 

 lequel, par suite, rend douteuse l'exactitude de cette théorie : il n'y 

 apporte môme îiucune simplification. Car , à moins d'agir par voie 

 d'autorité, il faudra bien quelques explications aux élèves qui n'au- 

 raient pu acquérir la certitude que : ■ Par un point donné, on ne 

 » peut mener qu'une seule parallèle à une droite donnée j » et ces 

 explications ne peuvent être plus courtes , pour devenir efficaces , 

 que la démonstration elle-même , d'ailleurs fort simple. Et remar- 

 <|uons que, supprimer une démonstration nteessairc,_cc n'est pi;s 

 simplifier , au contraire. 



