472 J.-N, IVoEL. — Simplification des éléments 



IC = IB = KC. Donc les deux triangles AIC et KB'C sont égaux ; 

 d'où l'angle KC'B'== C et l'angle lAC = B'. 



On voit que l'angle A = A'+B' et que B-t-C = C ; d'où il vient 

 A + B + C= A'-|-B' + C La somme des trois angles reste donc 

 la même en passant du triangle ABC au triangle AB'C, puis de 

 celui-ci à un troisième triangle, construit de la même manière, de 

 ce troisième à un quatrième , et ainsi indéfiniment. 



Soit S la somme constante des trois angles de chaque triangle , 

 soit D l'angle droit et soient désignes par a; et x' les angles extérieurs 

 adjacents aux angles C et C : on a donc le système d'égalités 



S = A + B+C. S=A'+B'+C', 

 C+a;=2D. C/+x' = 2D. 



Ajoutant membre à membre les deux égalités qui se correspon- 

 dent, puis supprimant les termes communs aux deux membres , on 

 trouve 



S + x =2D-i- A + B,.... (1) 

 S + a;'=2D-j-A'-}-B'.... (2) 



A cause de C'^C , il est clair, au contraire, que x' ■e^x et que 

 A'-{-B'<; A -(-B. L'équation (2) n'est donc que l'équation (1) où 

 a; çt A-f B diminuent ensemble. On verra de même que les quan- 

 tités X et A+ B diminuent en passant du second triangle au troi- 

 sième, de celui-ci au quatrième, etc. Ainsi , dans l'équation (1), les 

 deux quantités S et 2D restent constantes pendant que les deux va- 

 riables X et A-{- B diminuent ensemble indéfiniment, sans jamais 

 pouvoir devenir nulles et sans que l'égalité de deux membres cesse 

 d'exister, absolument comme si ces deux variables n'entraient point 

 dans l'équation proposée (1), toujours exacte. On a donc nécessai- 

 rement, comme il fallait le démontrer, S = 2D ou A-j-B-f-C 

 = 2D; et il en résulte x = A4-B. 



Par cette belle application de la méthode des variables, la théorie 

 des parallèles de Legendre devient rigoureuse, mais elle reste encore 

 fort compliquée. D'ailleurs , toutes les théories des parallèles ne 

 sont générales et complètes que par l'emploi, du moins implicite, 

 des grandeurs infinitésimales. Par exemple, si l'angle externe sur- 

 passe infiniment peu l'angle interne correspondant, il s'en suit que 

 la somme des deux angles intérieurs, d'un même côté de la sécante, 

 est surpassée par deux angles droits d'un angle a infiniment petit et 

 par conséquent imxprimable en degrés. Or, pour que la démon- 



