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stration de Legendre (Liv. I, prop. XXIII) soit générale et com- 

 plète, elle doit encore s'appliquer à ce cas. Il faut donc alors con- 

 cevoir une infinité de bissections successives d'angles pour que la 

 dernière droite de division tombe dans l'angle a infiniment petit ; 

 d'où résulte alors la certitude que les deux côtés non communs se 

 rencontrent en un point situé à l'infini , et font entre eux un angle 

 infiniment petit égal à l'angle a proposé. 



Revenons au théorème de la somme des trois angles de tout trian- 

 gle ABC. Si nous prolongeons CA vers E, CB et AB vers D et F , 

 nous formerons l'angle extérieur ou externe EAF et l'angle DBF , 

 égal à son opposé au sommet B. Or l'angle externe EAF restant fixe, 

 aussi bien que les droites CAE et ABF , faisons glisser l'angle ECU 

 sur le plan de telle sorte que le côté CE et le sommet C glissent sur 

 la droite fixe CAE jusqu'à ce que le point C tombe en A, et par 

 conséquent le côté CD en AG , dans l'angle EAF. Par ce mouve- 

 ment de l'angle ECD, il est clair que le côté CD entraine l'angle 

 DBF de telle sorte que DB glissant sur DC et FB sur FA , les deux 

 sommets C et B arrivent à coïncider ensemble avec le sommet A. 

 Le côté CD ayant alors la position AG, dans l'angle EAF, désigné 

 par X , on voit que l'angle EAG = C et l'angle GAF = DBF ■= B ; 

 donca; = C-fB. Doncaussi C-f-B •{- A=x + A=2D. Ce qu'il 

 fallait démontrer de nouveau. 



Puisque l'angle EAF]>EAG >• ECD, on voit que «î les deux 

 côtés non communs se coupent en un point B , l'angle externe EAF 

 est plus grand que l'angle interne correspondant ECD. 



Réciproquement , ayant l'angle externe EAF plus grand que l'an- 

 gle interne ECD , il faut faire voir que les côtés non communs AF 

 et CD finiront toujours par se couper. Pour cela , soit fait au point 

 A l'angle EAG=ECD : le côté AG tombe donc dans l'angle EaF. 

 Si l'on fait glisser l'angle EAG sur le plan de telle sorte que son côté 

 EA et son sommet A glissent sur la droite fixe EAC jusqu'à ce que 

 le point A tombe en C et que l'angle mobile coïncide avec son égal 

 ECD; alors, comme deux droites ne peuvent se couper qu'en un seul 

 point, il est clair que la droite indéfinie AG ne cessera pas un seul 

 instant d'avoir un seul point sur la droite fixe AF, prolongée indéfi- 

 niment ; et ce point, s'éloignant de plus en plus du pointA, est com- 

 mun aux deux droites AF et CD quand les deux angles EAG et ECD 

 coïncident. Donc enfin les deux côtés non communs AF et CD, 

 étant suffisamment prolongés , se coupent nécessairement lorsque 



