47G J.-N. Noël. — Simplificaiion des éléments 



deurs n'ont absolument aucun diviseur commun, pas même appro- 

 ché ; oubliant ainsi qu'il n'existe aucun rapport mwîéngue sans me- 

 sure commune à ses deux termes continus. 



Il est certain que les anciens géomètres , tenant surtout à raison- 

 ner avec une exactitude complètement rigoureuse,' n'auraient jamais 

 employé la réduction à l'absurde pour établir la proportion , où 

 l'on suppose toujours que les deux rapports existent , si la notion du 

 rapport leur avait été mieux connue. — Il ne faut pas confondre 

 les différents genres d'application de cette forme de raisonnement; 

 et les réflexions de Carnot, citées p. 191 et 192 de la Revue, ne 

 s'appliquent nullement à la théorie des rapports égaux : elles rap- 

 pellent seulement que , dans cette théorie, les anciens se servaient 

 aussi de la réduction à l'absurde. 



Je n'ai pas contesté l'exactitude du procédé, très-ancien, em- 

 ployé dans la géométrie de Legendre pour démontrer le théorème 

 de l'aire du cercle, par exemple, et où le commun diviseur infini- 

 ment petit, de l'unité linéaire et de la circonférence , est tacitement 

 employé, bien qu'on pense l'avoir évité. Mais ce qu'on reproche à 

 ce procédé, c'est d'être incomplet, en ce qu'il ne montre pas com- 

 ment on est parvenu au théorème, et surtout, c'est de rendre la 

 démonstration fort longue et d'autant plus obscure que les deux ré- 

 ductions à l'absurde successives ne cachent même pas entièrement 

 les grandeurs infinitésimales qu'on voudrait éviter. Pour preuve, 

 voyez le Lemme fondamental, où les rayons des deux circonféren- 

 ces concentriques peuvent différer infiniment peu. 



20. Revenons à la théorie des rapports égaux. Chercher un rap- 

 port, c'est mesurer l'antécédent avec le conséquent, et la récipro- 

 que est vraie. On est donc ainsi conduit à Yaxiome de mesurage , 

 savoir : Si quatre grandeurs A et B , C e( D, sont telles qu'en me- 

 surant A avec B , on mesure en même temps C avec D , il est évi- 

 dent que les deux nombres ou les deux rapports résultants sont 

 égaux. De sorte qu'on a A:B^ C:D. 



En théorie, cet axiome conduit le plus simplement possible à la 

 proportion ci-dessus, où il faut déterminer le rapport A:B par le 

 rapport égal C:D, plus facile à calculer exactement. Mais, dans la 

 pratique , le rapport C : D ne sera souvent que plus ou moins appro- 

 ché du véritable rapport numérique, comme dans tout mesurage 

 effectif. 



En général, si l'on cherche la p. g. c. m. des deux grandeurs C 

 et D , les instruments les plus exacts ne donneront jamais que les 



