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ces deux polygones, cl qu'on a P =a»i cl P' = a'M ; d'où P:P' = 

 o : a'. Or, les deux iriangles isocèles , dont a et a' sonl les bases , ont 

 les deux cotes latéraux égaux à R pour l'un et à R' pour l'autre ; et 

 comme les angles aux sommelssonl égaux chacun à la n iémc par- 

 tie de quatre droits, ces deux Iriangles sont cquiangles et donnent 

 «:a'==R:R'; d'où il vient P:P' = R:R'. Soit »m le rapport com- 

 mun, nombre abstrait exprimable ou inexprimable en chiffres: on a 

 donc R = R'wî et P= P'w. 



Cela posé, comme chaque corde est moindre que l'arc soutendu, 

 il est clair que P<C et P'<C'. On peut donc poser P = C — x et 

 P'=C' — y : alors l'cgalilé V=Vni devient 



C — a; = C'm — ym.... (1)' 



Celle égalité ne cesse pas d'exister lorsque le nombre n de som- 

 mets de P et de P' devient de deux en deux fois plus grand. Mais 

 alors les périmètres P et P', ayant de deux en deux fois plus de 

 points communs avec les circonférences C cl C, approchent de 

 plus en plus de coïncider avec ces courbes , et les différences x et 

 y diminuent de plus en plus. 



D'ailleurs les longueurs C, C et le rapport m sont des grandeurs 

 constantes pendant que les variables x et ym diminuent ensemble 

 indéfiniment, sans pouvoir jamais devenir nulles et sans que l'é- 

 galité des deux membres de l'équation (1) cesse d'exister ; ces deux 

 variables n'ont donc aucune influence sur celle égalité et pas plus 

 que si elles n'enlraient point dans l'équation proposée. On a donc 

 nécessairement 



C=C'»«; d'où a;=»/)H et 3c — 2/"* = 0.... (2) 



Déplus, ayant simultanément C = C'»M et R=R'»J, il en ré- 

 sulte ces deux théorèmes : 



C:C'::R:R'::2R:2R', 

 C:2R=C':2R' = ,T. 



2b. L'égalité C =QJm est le résultat du principe fondamental de 

 la mélhode des variables auxiliaires, énoncé plus haut (n° 1) et dé- 

 montré ensuite de plusieurs manières. 



C'est pour plus de clarté que nous répétons l'un des raisonne- 

 ments qui amènent ce résultat (lequel résultat est indéjjendant de la 

 notion de simililwle). Mais , ce qu'il faut ici bien remarquer , c'est 

 que la méthode des variables conduit immédiatement à la vtélliodc 

 infinitésimale. 



