48i J.-N. NoEi,. — Simpiifkaliou dos cléincntx 



sortent en parties hors des tétraèdres, snvoir a, h, c, d,... liors de 

 T eto', 6', c', d',.... hors de T'. Donc si l'on pose S=ri + b-\-c-\-d 

 + .,.. etS'=a'-f-6'+c'+(/'+....,on aura S>TctS'>T'. 



De plus, puisque tous les prismes ont la même hauteur y, il s'en 

 suit que ceux qui se correspondent , savoir a et a' , h et // c et c',... 

 sont dans le rapport des sections qui leur servent de bases et par 

 conséquent dans le rapport de B à B'. Soit donc r ce dernier rap- 

 port constant , exprimable ou inexprimable en chiffres : on a évi- 

 demment 



a=ra', b^rb', c=rt', etc. De là, S = rS'. 



D'ailleurs, S>T et S'>T' ; posant donc S=T4-a; et S'=T'+x', 

 puis substituant , il vient 



T+x = rT+rx'. 



Celte équation finale est exacte quel que soit le nombre n des 

 parties égales de h. Or, n devenant de plus en plus grand , les 

 sommes S et S' approchent de plus en plus de coïncider avec T et 

 T'; donc les différences x et x' deviennent de plus en plus petites. 

 Ainsi les grandeurs T et rT' restent constantes pendant ((uc les v;i- 

 riables x et rx' diminuent ensemble , sans que l'égalité des deux 

 membres cesse d'exister , absolument comme si deux variables 

 n'entraient point dans l'équation finale proposée. On a donc néces- 

 sairement T=rT'; d'où T:T' = r=B:B'. — Par cette proportion , 

 si B vaut B', il est clair que T vaut T'. 



Maintenant, soit C le cube construit sur 2/i. Ce cube est la 

 somme de 6 pyramides régulières égales , ayant chacune pour base 

 une face du cube, pour hauteur la moitié h du càlé'ih et pour som- 

 met commun le centre. 



Et comme chaque pyramide régulière se décompose en deux té- 

 traèdres égaux , on voit que le cube est la somme de 12 tétraèdres 

 égaux à T', ayant chacun la hauteur h et la base B' étant la moi- 

 tié de la base 2B' de C. On a donc 12T'=C=2B' x2/t=4/iB' et 

 T' = j/tB'. Par cette valeur, la proportion ci-dessus devient 



T : ytB'=B : B' ou T : i/t= B : 1 et T=iB/t. 



Enfin, comme toute pyramide polygonale P, de hauteur h et de 

 base 6 , convexe ou concave, peut se décomposer en autant de té- 

 traèdres que la base b contient de triangles formés par les diagona- 

 les menées d'un sonnnct ,oii voit ipic P^^bh. 



Dans la Revue pédagogique, p. 262, on considère des prismes 



