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intérieurs à T et à T, et l'on trouve la proportion T— a;:T'-x' 

 =B:B'. Mais les raisonnements, p. 263, ne démontrent pas que 

 cette proportion donne T:T'=B:B'. 



Le procédé rigoureusement exact qu'on vient d'employer pour 

 calculer l'expression du volume de toute pyramide, peut, ce me 

 semble , remplacer avec avantage celui recommandé par Legendre 

 pour cet effet. 



28. Voici le procédé le plus simple pour trouver l'expression 

 du volume de toute pyramide. Dabord, si n est un nombre entier 

 quelconque , on vérifie aisément qu'on aura toujours 



Donc \n (n+ 1) (2„+l) est la somme des carrés des n premiers 

 nombres entiers. D'ailleurs, prenant successivement «=1, 2, 3, 

 4., S,..., n, puis ajoutant membre à membre les n égalités'résul- 

 tantes et réduisant dans le nouveau second membre , il vient 

 1+4 + 9+16+25+... -f„'=i„(„4.i)(2„^,)_ 



Cela posé, soit P une pyramide quelconque, de hauteur h et de 

 base plane quelconque b rectiligne , convexe ou concave. Imaginons 

 que la hauteur h soit divisée en un grand nombre n de parties 

 égales à x par des plans parallèles à la base 6 : on a donc nx==h et 

 ces plans divisent P en n tranches, toutes de même épaisseur x 

 Soit t la m lème de ces tranches , à partir du sommet de P, et soit m 

 la plus grande de ses deux bases parallèles : y est donc à la dislance 

 mx du même sommet. Les différentes unités v, s et u étant toujours 

 sous-entendues comme conséquents des rapports numériques qui 

 mesurent les antécédents, on a d'abord , comme on sait, h-.m^x' 

 ~b\y, d'où en posant 6=r/»% il vient y==rx^m\ 



Soit;j le prisme de hauteur x et de base y, on a «< p et 

 p = xy on p — rxhn\ 



Prenant successivement »w = l, 2, 3, i, S,...,„; ajoutant en- 

 suite membre à membre les n égalités résultantes , en désignant par 

 S la somme de tous les prismes p et en observant que , dans le nou- 

 veau second membre, rx' est multiplié par la somme des carrés 

 des « premiers nombres entiers, on aura 



S = l rxhiin-hi) (2«-f 1) =ira;3 [2nS+«(3« + l )]. 



Il est clair que la somme S>P, et qu'ainsi S=P+z. D'ailleurs 

 nz = h et b=rh' ; l'égalité précédente devient donc 



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