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« La démonstration qu'EucIide a donnée dans la proposition V 

 du livre XII est une des plus ingénieuses des éléments ; cependant 

 le nombre toujours croissant des petites pyramides , qu'on semble 

 négliger, peut laisser quelque nuage dans l'esprit des eommeneani», 

 et c'est pour éviter cet inconvénient que nous avons choisi dans le 

 texte un autre genre de démonstration. On pourrait aussi , en par- 

 tant des mêmes bases qu'EucIide, parvenir directement à la solidité 

 de la pyramide triangulaire , sans supposer de prolongement à l'in- 

 fini. » 



On sait qu'en s'appuyant sur la décomposition d'Euclide, Legen- 

 dre a démontré péniblement les théorèmes relatifs au mesurage du 

 tétraèdre , à partir de la seconde édition de ses éléments de géo- 

 métrie jusqu'à la IS"" exclusivement , où il a pris une autre base , 

 beaucoup plus simple. J'ai déjà indiqué ailleurs comment on pou- 

 vait tirer parti du théorème d'Euclide pour simplifier la théorie du 

 mesurage des tétraèdres, et j'y reviens, en priant le lecteur de 

 tracer la figure, s'il la juge nécessaire à la clarté des raisonne- 

 ments. 



50. Soit SABC = <, le tétraèdre dont h est la hauteur et ABC 

 =b la base. Par le milieu E de l'arcte SB menons le plan parallèle 

 à celte base: il passe par les milieux D et F de SA et SC, ainsi que 

 par le milieu de h. Soient G, H, I les milieux de AB, BC, CA : il 

 est clair que les triangles AGI et GBH sont égaux entre eux et à 

 DEF = j6. On voit aussi que les deux tétraèdres SDEF et EGBII 

 sont égaux entre eux, comme ayant un trièdre égal compris sous 

 trois arêtes égales chacune à chacune. Soit t, le tétraèdre SDEF : on 

 a donc aussi le tétraèdre DAGI=f2. 



Déplus, soit p, le prisme triangulaire construit sur les trois arê- 

 tes AB, AC, AS de f, : il est clair que h est la hauteur et b la base 

 de p, , et qu'ainsi les unités v, s et ii étant sous-entendues , on a 

 p,=bh. En outre, soit p^ le prisme triangulaire construit sur les 

 trois arêtes DS, DE, DF de t, : ce prisme ayant {b pour base et ^A 

 pour hauteur, on a 7j,:=j6xè /«= i''^=fpi et ;j,=8p,. On 

 voit aussi que AGIFDE est un prisme triangulaire égal à p,. Soit 

 d'ailleurs P le parallélipipède construit sur les trois droites GE, GI, 

 GH ; lequel a |/t pour hauteur et le parallélogramme GICH = i6 

 pour base; d'où P=j6/j = jpi. Le plan diagonal IIEFC divisant P 

 en deux parties équivalentes , on voit que le prisme triangulaire 

 GHEFCI vaut \p,=p,. De sorte qu'on a le volume AGIICFDE 



