488 J.-N. Noël. — Simplification des éléments 



équivalent à ip,. La décomposition ci-dessus fournit donc ce théo- 

 rème d'Euciide, employé par Legendre : 



p,=8;7, et <,=Îp.-f2^ ou it,=p,+St,. 



Cela posé , les deux prismes triangulaires /;, et p, sont directe- 

 ment semblables, comme ayant un Irièdre égal compris sous trois 

 faces semblables chacune à chacune et disposées dans le même or- 

 dre; ces deux prismes ne différent donc que par leurs grandeurs. 

 De même , les deux tétraèdres , t, et t, sont directement semblables ; 

 de sorte que t, est exactement en petit ce que t, est en grand. Or, 

 puisque /),=8p, , on voit que ;), n'est que;;, devenu 8 fois plus 

 grand ; donc chaque partie de p, n'est que la partie semblable de 

 p, devenue aussi 8 fois plus grande; donc enfin t,=8t,. Substituant 

 donc , il vient successivement : 



iti=p,+t,, ôt.^p, et t,= ^p,= ^bh. 



Ce procédé, très-simple et très-clair, pour calculer la mesure de 

 tout tétraèdre, suppose bien acquise la notion de similitude directe , 

 laquelle consiste en ce que : deux polyèdres directement semblables 

 ne diffèrent que par leurs grandeurs, c'est-à-dire que l'un est exac- 

 tement en petit ce que l'autre est en grand. Or , la théorie des ligures 

 directement semblables, l'une des plus importantes de la géométrie, 

 doit développer complètement cette notion et la rendre évidente 

 dans tous les théorèmes de similitude. — Les définitions générale- 

 ment admises ne font bien connaître les figures semblables que 

 quand ces délinitions sont amenées par des considérations prélimi- 

 naires indispensables pour mettre en évidence toutes les conditions 

 nécessaires à la similitude (Voyez à ce sujet la 4"° édit. , citée plus 

 haut). — On voit pourquoi Legendre n'a pu démontrer que t,=St,. 

 D'ailleurs , dans son ouvrage, la similitude ne précède pas le me- 

 surage. 



31. Si l'on ne veut pas recourir à la notion de similitude pour 

 démontrer que (, =|p, , la méthode des variables y conduit direc- 

 tement, sans supposer de prolongement à l'infini. En effet , soient 

 t, , fj, i3,...,f„ la suite de tétraèdres retranchés chacun de celui 

 qui le précède immédiatement par le plan joignant les milieux des 

 arêtes du sommet de ce dernier : celte suite de tétraèdres est infi- 

 nie, évidemment. Soient p, , p^ , p^, ... , p^ la suite des prismes 

 triangulaires construits sur trois arèles contiguës, dont une laté- 

 rale, des tétraèdres successifs : les bases de ces prismes deviennent 



