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de 4 en 4 fois plus petites, les hauteurs de 2 en 2 fois moindres et par 

 conséquent les volumes de 8 en 8 fois plus petits. Chaque prisme 

 vaut donc 8 fois celui qui le suit immédiatement, et l'on a 



p, = 8p,, /'.=8/)3, P3=8pi,...,p^=Sp^+r, d'où 



p. = 8';j3 = S5/j4 = ... = 8°-'/j„ et ;3n=p,:8°— . 



Le théorème d'Euclide , appliqué à ?„ , donne 



'a=ï/'-.+2^«+.; d'où /„ — 2f„+,=i;j.:8— '. 



Multipliant les deux membres par 2°~' et réduisant , on trouve 



2°— /»— 2V„+,=/).X7^; d'où il vient 



2"-^_2=.„+.=ip.(J,_l„). 



Prenant donc successivement n=l, 2, 3, 4,..., h, puis ajoutant 

 membre à membre les n égalités résultantes et réduisant dans les 

 deux membres delà nouvelle égalité , elle devient 



f,-2°;„-t-. = ^p, (l -^,). 



Le prisme triangulaire ;;„+, est construit sur les trois arêtes con- 

 tiguës du tétraèdre ?„4-, ; celui-ci est donc plus petit que le prisme. 

 Si donc on pose k<^l , k étant un nombre constant, on aura 



f„^..= A:;p„4., = /tp,:8" et 2°?„+, = ^/5.:4°. 



Substituant cette valeur, il est clair qu'on aura finalement 



f . — Ajo, : 4° = ip, — |jt), : 4° . 



Cette équation finale , toujours vraie quel que soit le nombre en- 

 tier n. renferme deux termes constants et deux termes variables, 

 ceux-ci diminuant ensemble à mesure que n augmente, sans que 

 l'égalité des deux membres cesse d'exister. On a donc séparément 



;!:/),: 4° = 1 p. a» et f,=|p,. 



Ici la compensation des deux erreurs donnant k=\, vérifie que 

 tout tétraèdre est le tiers du prisme triangulaire de même base et de 

 même hauteur. — On voit que >i étant supposé infini, les deux 

 termes variables de l'équation sont infiniment petits et nuls à l'é- 

 gard des deux termes constants. Ils disparaissent, en effet, de l'é- 

 quation finale comme s'ils étaient nuls rigoureusement. 



