490 J.-N. Noël. — Simplification des éléments 



32. La gcomclrie élémentaire est à la fois graphique cl numéri- 

 que; l'emploi des signes abréviatifs et généraux , désignant les opé- 

 rations et les quantités continues, y est donc nécessaire pour facili- 

 ter les diverses théories. Il y faut l'algèbre la plus élémentaire pour 

 résoudre des équations très-simples des deux premiers degrés , 

 provenant des rapports , des proportions , des relations entre les 

 longueurs , les aires , les volumes , et il faut la décomposition en 

 fadeurs pour obtenir des valeurs , soit calculables par logarithmes , 

 soit constructibles à l'aide de la règle et du compas seuls; et cela 

 exige souvent des inconnues auxiliaires. 



Pour donner un exemple de ces derniers cas , proposons-nous ce 

 problème : Mener dans le trapèze donné ABCD , la parallèle EF 

 aux deux bases AB et CD , de telle sorte que les deux trapèzes ré- 

 sultants soient entre eux comme les deux nombres donnés m et n. 



Posons AB=n, CD=6 et supposons n>6. Dans le trapèze pro- 

 posé, menons la hauteur DA=/t , rencontrant en I la pararèle 

 cherchée EF=a; et soit lH = î/,d'où DI=/i — y. D'après l'énoncé 

 el d'après les expressions des aires des trois trapèzes, on a, pour 

 déterminer xety, deux équations qui se réduisent ù celles-ci : 



"Z/ («+!/) =m{li— y] (6-fx) 



y[a+y) + {h-y) (ô+x) = /t(a-l-i). 



Prenant la valeur de y dans la seconde de ces équations et la sub- 

 stituant dans la première, on trouve, réductions faites, 



h (a — r) n''u-\-b^m 



y = — ^ -^ et X- — ■ ■. 



a — b ■/«+/» 



Pour »i:=3h, on a x" =j (a'-j-5i'). Or posant e'^ôi" et rf' = 

 a'+C, on a x= |cL Toutes ces valeurs sont faciles à construire ; 

 car c est le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle dont b 

 est le rayon , tandis que d est l'hypoténuse du triangle rectangle 

 dont a et c sont les côtés donnés de l'angle droit. Pienant donc, sur 

 AB , la longueur AP = ^rf el menant par P la parallèle à AD, elle 

 coupera BC au point F de la parallèle cherchée. — Si l'on posait 

 ak=ôb' , d'où x' =|a(«-|-À) , a; se construirait par une quatrième 

 tl une moyenne proportionnelle. — Chaque fois on vériOerail la 

 solution en construisant la 4°'" proportionnelle y ou III. 



Sur le terrain , s'il fallait diviser le trapèze proposé en deux tra- 

 pèzes équivalents , d'où »î=«, il faudrait l'équerre d'arpenleur pour 

 tracer des perpendiculaires el la chaîne njétriquc (décamètre) pour 



' 



