496 J.-N. Noël. — Simplification des éléments 



niiéde parallélogrammes clifférenls , ayant les eôtés égaux eliacun à 

 chacun. 



VIII. Calculer l'aire Q de tout quadrilatère , convexe ou concave , 

 connaissant niimériquement les deux diagonales d et e, ainsi que la 

 projection p de d sur e. — Soit x la somme des dislances de la dia- 

 gonale e aux deux sommets opposés du quadrilatère: on sait que la 

 mesure decelui-ei est donnée par la formule Çl=\ex. Mais a; est 

 un côté de l'angle droit du triangle dont l'autre côté p et l'hypoté- 

 nuse d sont donnés ; on a donc 



ar' = d"— p' cl Q=|cl/ (S>+P} {d — p). 



On voit que : Deux quadrilatères quelconques , convexes ou con- 

 caves , l'un ou Vautre ou tous les deux , sont équivalents entre eux 

 lorsque leurs diagonales sont égales chacune à chacune et compren- 

 nent tin angle égal. Alors en elïet , les deux projections ;} sont éga- 

 les , etc. — Le quadrilatère est donc déterminé de grandeur, et non 

 pas de furme , par les seules données d, e et p. 



Remarque. Soient d et e les diagonales de tout quadrilatère , con- 

 vexe ou concave ; soient m et n ses deux médianes , joignant les mi- 

 lieux des côtés opposés. On démontre que : m et n sont les diago- 

 nales du parallélogramme P dont les sommets sont les milieux des 

 côtés du quadrilatère Q proposé , ce parallélogramme valant j Q ei 

 soti périmètre étant égal à d -j- e. — C'est sur ce théorème que sont 

 basées les solutions des deux problèmes suivants. 



IX. Connaissant les mesures d, e et m des deux diagonales et 

 d'une médiane de tout quadrilatère , calculer l'aire Q de ce quadri- 

 latère. — D'abord T désignant l'aire du triangle dont m, ^d ct^e 

 sont les côtés numériques, on sait calculer l'aire T par logarithmes. 

 Et comme T, moitié de P, équivaut à -^ Q, on voit que l'aire cher- 

 chée se calcule par la formule Q^^T. 



X. Calculer la mesure de tout quadrilatère Q, connaissant les 

 mesures m, n et d de ses deux médianes et d'une diagonale. — D'a- 

 l)ord le triangle dont \d, \m et \n sont les côtés numériques et à 

 la fois équivalent à jP et à jt, t désignant l'aire du triangle dont 

 m, n, d sont les mesures connues des trois côtés; d'où P=f et 

 {1= 2<. Posant donc 'îls=d-\-m-\-n, on verra que 



Q':=4s(s — d) (s — m) (s — n). 



ô4. On doit parfois, pour abréger l'étude des éléments de géo- 

 métrie, y supprimer différentes matières et se borner aux piopusi- 



