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lions les plus importantes. Mais dans ce cas même, comme quel- 

 ques idées bien acquises sont toujours utiles pour en acquérir 

 d'autres avec facilité , il est nécessaire d'approfondir les notions et 

 les propositions fondamentales , afin de les bien connaître ; ce à 

 quoi l'on parvient par de bonnes définitions et des applications , 

 clairement et logiquement analysées, en s'aidant s'il le faut des 

 équations. Celles-ci d'ailleurs se présentent toujours dans la géo- 

 métrie numérique , limitée aux propositions les plus essentielles, et 

 exigent ainsi le calcul et l'interprétation des symboles numéri- 

 ques. 



Or, dans tout problème de géométrie, où il faut calculer lapo- 

 sition d'un point inconnu sur une ligne tracée, droite ou circulaire, 

 il existe toujours , avec les équations de ce problème , une équation 

 auxiliaire, le plus souvent implicite ou sous-entendue, par laquelle 

 on démontre clairement et très-simplement les deux principes de l'in- 

 terprétation des longueurs positives et des longueurs négatives. — Ces 

 deux principes sont encore vrais lorsque la ligne tourne autour d'un 

 point fixe; vu que l'équation auxiliaire ne change pas dans ce mou- 

 vement. (Voyez à ce sujet la théorie infinitésimale appliquée). 



Si donc le signe — de l'inconnue ne vient pas des changements 

 de signes de quelques données, il est ainsi démontré qu'en algèbre : 

 Toute solution négative indique un mode opposé d'existence de l'in- 

 connue; vu qu'alors celle-ci diminue ou augmente ce qu'elle augmen- 

 tait ou diminuait d'abord. Et ceci n'est pas une vérité de conven- 

 tion; car, si cela était, « une autre convention donnerait donc une 

 solution différente: » ce n'est pas non plus une simple hypothèse , 

 puisque c'est une vérité démontrée , ou du moins que l'on pourrait 

 démontrer très-simplement, ainsi que le calcul des symboles nu- 

 mériques , pour la discussion des problèmes des deux premiers de- 

 grés ; et rien, à cet égard, ne justifie les scrupules, les détours obs- 

 curs de quelques auteurs récents d'algèbre et de géométrie. 



Dans les mélanges de mathématiques, en 1822, et dans diffé- 

 rents ouvrages d'algèbre et de géométrie , j'ai démontré les deux 

 principes ci-dessus du positif et du négatif, à l'aide desquels on ef- 

 fectue l'interprétation de presque tous les symboles numériques, 

 désignant des impossibilités relatives; ainsi que je l'ai établi en géo- 

 métrie, 2°"= édition , et où les difficultés de Carnot, portant sur l'in- 

 terprétûiion des longueurs positives et négatives, sont résolues. - . 

 Nous y reviendrons plus bas. 



Dans les mélanges ci-dessus, p. 112, j'ai dit : « Le principe des 



