S02 J.-N. NuEL. — Simplification ik'S ilùmmls 



bd 



a — b 



CI) 



Pour In seconde tangente commune extérieure, les rayons o et 6 

 sont mesurés en sens directement contraires ou sur les prolonge- 

 ments MA et I\B des deux droites indéfinies, tournant autour des 

 centres fixes A et B , sans cesser d'être parallèles. Donc les rayons 

 n et 6 sont négatifs ou se changent en — a et — b dans la formule 

 (1). Et comme en changeant les signes du numérateur et du déno- 

 minaleur de la nouvelle formule , celle-ci conserve la même valeur 

 et devient la proposée (1), on voit que la seconde tangente com- 

 mune extérieure passe aussi par le point P; et il en est de même de 

 toute droite joignant les extrémités de deux rayons parallèles, situés 

 d'un même côté de ABP. 



Maintenant, les deux droites indéfinies peuvent tourner autour des 

 centres fixes A et B, sans cesser d'être parallèles, mais de telle 

 sorte que les rayons a et 6, situés de part et d'autre de AB, soient 

 perpendiculaires à une même droite ; laquelle alors est une tan- 

 gente commune intérieure. Dans ce cas , l'un des deux rayons de- 

 vient négatif , comme mesuré en sens directement opposé, sur l'une 

 des droites mobiles. La formule (1) s'applique donc aux deux tan- 

 gentes intérieures communes , eu y changeant successivement a en 

 — a et 6 en — b. Et comme chaque fois la longueur a; est négative et 

 doit se mesurer en sens contraire, de B et Q sur BA , on voit qu'en 

 posant BQ = x', on aura, pour calculer le point Q où les deux tan- 

 gentes communes intérieures coupent la distance AB , la formule 



bd 



x'=-—--.... (2 



a-\- b 



Menant donc, de chacun des points Pet Q, deux tangentes à 

 l'une des deux circonférences, elles seront aussi tangentes à l'autre, 

 et l'on aura ainsi les quatre tangentes communes cherchées. Car 

 chacune sera perpendiculaire aux extrémités des deux rayons a et b, 

 ainsi que le suppose la mise en équalion. 



On connaît la construction plus simple des quatre tangentes, sa- 

 voir : du centre A et avec les rayons a-\-b et a — b, on décrit deux 

 circonférences, à chacune desquelles on mène, par le point B, deux 

 tangentes, etc. 



Nous supposons a>6 et les deux cercles extérieurs, d'où rf>-a 

 -|-6. Supposons maintenant que les deux cercles se touchent exié- 



