de géométrie. 503 



rieurement et qu'on ait d=a-{-b. Dans ce cas, la distance x dimi- 

 nue et il vient x'=b : il y a toujours deux tangentes communes 

 extérieures, mais une seule intérieure, perpendiculaire sur AB au 

 point où les deux circonférences se touchent. — Si elles se coupent, 

 ce qui suppose rf<^a+6 et d'^a — 6, d'où x'^^b et a;>6, il n'y a 

 plus de tangentes intérieures, mais encore deux tangentes commu- 

 nes extérieures ; ce qui est d'ailleurs évident. — Enfin, si les deux 

 cercles se touchent inlérieurement, d'où d=a — 6, x' <^b el x=b, 

 il est clair que les quatre tangentes communes se réduisent à une 

 seule extérieure. 



Pour compléter la discussion des formules (1) et (2), dans les- 

 quelles d'^a-\-b et a>6 , il faut , a restant constant , faire croître 

 b par infiniment petits. Il est clair qu'alors x et a/ croîtront de la 

 même manière, mais x beaucoup plus rapidement que x' ; telle- 

 ment que si 6 = a — ï, 2 désignant un nombre infiniment petit, le 

 point P est à une distance infinie de B et le point Q infiniment près 

 du milieu de AB. Enfin , si 6 devient rigoureusement égal à a , 

 ce qui donne x' = 5 rf et x = ftd sur (symbole de la non-existence), 

 le point Q coïncide avec le milieu et le point P cesse d'exister ; 

 comme cela doit être, puisque les deux tangentes communes exté- 

 rieures sont alors parallèles à la dislance AB et ne peuvent la ren- 

 contrer. 



Corollaire. Les formules (1) et (2) donnent facilement 

 d-\-x:d—x'=x:x' , ou AP:AQ=BP:BQ.... (ô) 



D'ailleurs, si l'on mène à volonté deux diamètres parallèles 2(i 

 et 26, ces diamètres sont les bases d'un trapèze dont les deux côtés 

 latéraux vont se couper au point P, tandis que les deux diagonales 

 se coupent au point Q. La proportion (3) démontre donc que : 

 dans tout trapèze, les intersections QetP des diago)tales et des côtés 

 latéraux divisent la médiane AB des deux bases en quatre segments 

 ■proportionnels. — On peut voir dans quel cas ce trapèze est un 

 maximum. 



Remarques. La discussion précédente conduit à plusieurs pro- 

 positions remarquables que voici indiquées très-brièvement : 



1» Il est facile d'expliquer pourquoi le point P est appelé centre 

 de similitude directe et le point Q centre de similitude inverse des 

 deux circonférences proposées. 



2° Par chacun des centres de similitude P et Q , on peut mener 

 deux sécantes telles, que la somme des cordes qui en résullent, 



