500 J.-N. Noël. — Simplification des éléments 



division cherché soit placé entre A et B : les deux segments numé- 

 riques inconnus sont donc PA=a; et BP=rf — x. Ainsi, en vertu 

 de l'énoncé, on a 



x':(d — x)-=a:b; d'où {a — é)x' — '2adx-= — ad'. 



Multipliant les deux membres par a— b, puis regardant (a — b)x 

 comme l'inconnue qu'il faut d'abord calculer, on trouve 



(a— 6)x = d(a± y"^). 



Si a> 6, les deux valeurs de x , d'ailleurs faciles à construire , 

 sont toutes les deux positives , l'une plus grande que d , donnant 

 d — a; négatif, et plaçant le point P sur le prolongement de AB, 

 tandis que la seconde valeur positive de x est plus petite que d et 

 place le point P cherché entre A et B, comme le suppose la mise 

 en équation. Mais si a<^b, les deux valeurs de x sont l'une positive 

 <^rf, plaçant le point P entre a et b, et l'aulre négative, détermi- 

 nant le point P sur le prolongement de BA. — Dans les deux cas, 

 le problème général a deux solutions; mais il n'en aurait qu'une 

 seule s'il renfermait la condition particulière que le point P fût placé 

 entre A et B, ou bien sur l'un des prolongements de AB. 



Observons encore que si a = 6, le signe — du radical donne x=§. 

 Mais ce symbole n'est pas celui de l'indétermination : il vient ici du 

 facteur étranger a — b, introduit dans la résolution de l'équation du 

 second degré, et qu'on sait faire disparaître des deux termes delà 

 double expression de x. Pour a = b , la nouvelle formule se tire de 

 l'équation x':(d — xy = l; il en résulte donc x=^d el x = d:(}. 

 Dans ce cas, le problème n'a qu'une seule solution : il en aurait 

 encore deux, dont une infinie, si a surpassait b d'un nombre inli- 

 niment petit. — Dans ce qui va suivre, on fait usage de certaines 

 relations trigonométriqucs. 



VI. Construire le triangle ABC, connaissant la base AC=b, 

 l'angle B du sommet et le rapport m des autres côtés AB=xef 

 CB=y. — Il faut d'abord calculer ces deux côtés. Pour cela, on 

 a les deux équations : 



x — my et K'-f-î/' — 2a;?/ cos B=6'. 



Éliminant X et posant A: = 6:K \-\-m' — 2m cos B, le nombre 

 fc sera connu, et l'on aura 



y = ± k; d'où X = ± km. 



Le rap|iort donné m étant essentiellement positif, les deux cotés 



