J)08 J.-N. Noël. — Simplification des élémcnls 



cnnférencH et la corde ou ses prolongements ait vnc longueur donnée 

 2b. (fig. facile à construire). 



Soit I\ID[ l'une des droites clierclices , I appartenant à la circon- 

 férence et D à la corde AB elle-même. Menant le diamètre MIV per- 

 pendiculaire à la corde AB et passant par le milieu C de cette corde : 

 en supposant toutes les droites rendues numériques d'après la même 

 unité linéaire sous-entendue, les données du problème sont AC = 

 CB=o, DI = 26, MC = cetMA=MB = d, tandis qu'il y a seule- 

 ment deux inconnues MD=a; et CD=?/. On a les deux équations : 



x'=c'-^y' et 2te==a» — y. 

 Eliminant»/', on trouve successivement, à cause de d'=a'-{-c' : 



x'-^-ibx — d' et x = — b± V^ d'-J^-b', 



Le radical représente l'hypoténuse k du triangle rectangle dont 

 les côtés donnés de l'angle droit sont d et b , celui-ci pris sur AN , 

 et ainsi x^ — b±k; d'où x='k — 6 et x^ — {b-\-k). 



On n'a que le seul point M de la droite sur laquelle , à partir de 

 ce point , les valeurs de x doivent se mesurer ; cette droite est donc 

 nécessairement mobile autour du point fixe M. Et comme évidem- 

 ment /v>6, la première valeur ci-dessus de x est positive. Il faut 

 donc d'abord la construire sur MN , à partir de M; puis du centre 

 M et avec la longueur trouvée pour rayon , décrire un arc circulaire 

 coupant AB en deux points D et D, , symétriques par rapport à 

 MN : alors MDI et MD,I, sont deux droites , solutions du problème 

 proposé, vu que D,l, = DI = 26. Ces deux solutions se réduisent à 

 une seule, si 26 = CN , et sont impossibles, si 26>CN. 



Quant à la seconde valeur ci-dessus de x, elle est entièrement né- 

 gative. On doit donc la construire, à partir de I\I, sur le prolonge- 

 ment de NM. Si donc du centre M et du rayon égal à la longueur 

 ainsi construite, on décrit une circonférence , elle coupera les pro- 

 longements de AB en deux points D, et Ds , symétriques par rap- 

 port à MN. De sorte que les deux droites MI,Da et MhDj sont deux 

 autres solutions, évidemment toujours possibles, du problème pro- 

 posé. Celui-ci a donc généralement quatre solutions , égales et sy- 

 métriques deux à deux par rapport à MN; ce qu'on pouvait aisé- 

 ment prévoir. Les quatre solutions peuvent se réduire à trois ou à 

 deux seulement. 



Si l'on voulait interpréter la valeur négative de x par le change- 

 ment de a; en — a; duns l'équation finale x'+%x=d' , on trouve- 



