fJ12 J.-N. Noël. — Simplification îles éléments 



6 = — /t cot B + y' im' -f h' col' B. 



Pour rendre celle formule calculable par logarithmes , on pose 



2»jcol x = /icot B; 



puis observant que 1 — cosx=2sin'jx, etc., on trouve 



6 = 2mtang^x; d'où T = /imtang^x. 



Ces deux formules se calculent par logarithmes en y faisant re- 

 paraître le rayon tabulaire II diviseur, et après avoir dcteiininé l'an- 

 gle auxiliaire a; au moyen des tables. 



Nous avons suppose l'angle B aigu ; mais s'il est droit, on aura 

 cotB=0 et 6 =2)» , comme cela doit être. Enfin, si B obtus, il 

 en est de même de l'angle auxiliaire x , et tang^x devient cotj x 

 dans les deux formules précédentes. 



36. Ce qui précède, montre bien le rôle important que les diffé- 

 rents symboles numériques jouent dans la géométrie élémentaire; 

 et il en résulte que la symétrie simplifie toujours la solution des 

 problèmes, soit graphiques , soit numériques. — C'est aussi la sy- 

 métrie et la régularité des ligures qui rendent très-faciles les dé- 

 monstrations des théorèmes que nous énonçons ci-dessous, pour 

 exercer les élèves aux applications des théories, dans l'étude des 

 figures planes , dont les tracés sur le papier sont d'ailleurs des exer- 

 cices utiles. 



I. Les quatre sommets des triangles équilatéraux, dont T dési- 

 gne l'aire de chacun , construits extérieurement sur les cotés c d'un 

 carré, comme bases, sont les sommets d'un carré dont l'aire vaut 

 2c'+4T. 



II. Dans tout triangle équilatéral T , les sommets extérieurs des 

 carrés, construits extérieurement sur les côtés c, déterminent un 

 hexagone inscriptible, ayant trois axes de symétrie égaux chacun 

 à jC (3 -f j/ 5). L'aire de chaque hexagone vaut 3c' + 4T ; et l'on 

 peut calculer le rayon du cercle circonscrit. 



m. Si , dans les deux sens , on prolonge chacun des côtés c d'un 

 carré de la longueur égale à ce côté, on aura les sommets d'une 

 croix, formée de cinq carrés égaux, et qu'on transforme en un carré 

 équivalent par simple transposition de parties. Les huit sommets de 

 la croix sont ceux d'un octogone, symétrique par rapporta un 

 centre , ayant quatre axes de symétrie , égaux et perpendiculaires 

 deux à deux, dont les longueurs sont oc et c )/ 10. L'aire de cet 

 octogone vaut 7c*; et si l'on prolonge dans les deux sens chacun 



