de géométrie. SI3 



des quatre côtés c J/2 , ces prolongements se coupent aux sommets 

 d'un carré équivalent à 8c'. 



IV. Dans tout triangle régulier T, si l'on prolonge dans les 

 deux sens chacun des côtés c d'une longueur égale à ce côté, on 

 aura les sommets d'un hexagone inscriptible , ayant trois axes égaux 

 de symétrie. L'aire et le contour de cet hexagone valent respective- 

 ment 12T et 9c, tandis que le rayon du cercle circonscrit équivaut à 

 ■gc j/ 1 b. — Tous les prolongements pourraient avoir la longueur a 

 quelconque donnée. 



V. Chaque côté donné e d'un triangle équilatéral soutend un arc 

 circulaire a , touché à ses extrémités par les deux autres côtés ; et 

 alors on a , pour calculer l'arc a, son rayon r et l'aire S du secteur 

 circulaire , les formules : 



o=|3-c, r=\c\/Z et S=^!rc'|/3. 



De plus , les trois arcs a se coupant aux sommets du triangle et 

 à son centre, forment une rosace triangulaire, égale à la rosace 

 décrite des sommets du triangle, comme centres, et avec le rayon 

 r : il en résulte la rosace hexagonale dont on sait calculer le con- 

 tour et l'aire; vu qu'elle est décrite des sommets d'un hexagone ré- 

 gulier dont r est le côté. 



VI- Prolongeant dans les deux sens chacun des' côtés c d'un 

 carré de la longueur égale à la demi-iliagonale icj/ jÎ, on a les 

 sommets d'un octogone régulier, décote c et d'aire 2c'(l + l/2). 

 Le rayon r de cet octogone se calcule par r'=jC'(4-)-2J/ 2). En- 

 fin, l'octogone proposé est inscrit dans le carré dont le côté a pour 

 mesure c(l+ v/2). 



VII. Réciproquement, si l'on cherche le côté a d'un carré tracé 

 pour qu'en retranchant de ce carré quatre triangles rectangles iso- 

 cèles égaux, il reste un octogone régulier de côté c donné, on 

 trouvera o=:c(i + l/2). L'aire de l'un des carrés inscrits dans 

 cet octogone a pour mesure c'(2 + J/ 2) . 



VIII. Dans tout pentagone régulier P, 1° chaque diagonale est 

 parallèle à un côté c; 2° elle est coupée en moyenne et extrême par 

 chacune des deux diagonales partant du sommet du triangle dont 

 elle est la base, et chaque fois c est le plus grand segment,- o°la 

 distance des deux points d'intersection est le côté d'un pentagone 

 régulier P, concentrique au proposé P; 4° P, est entouré de cinq 

 autres pentagones réguliers égaux, ayant chacun un côté commun 

 avec lui et un angle commun avec P ; 3° les rayons de P sont divi- 



