Hii J.-N. Noël. — Simplification des cléments 



ses en moyenne et extrême par les centres des einq pentnarones 

 égaux à P, ; 6° si l'on prolonge chacun des apothèmes de P irmie 

 longueur égale, on arrive aux centres de cinq pentagones réguliers 

 égaux à P et dont les sommets les plus éloignés de P sont ceux 

 d'un pentagone régulier P, concentrique avec P; 7° les sommets 

 de P, et ceux de P sont les sommets des angles rentrants et des an- 

 gles saillants d'un décagone régulier étoile , et il en est de même des 

 sommets de P et de P, ; 8° les côtés de P, et de P» , puis ceux des 

 deux décagones réguliers étoiles ci-dessus , valent respectivement 



ic(3-l/S) etic(3+j/5), ic(t/b-l) et ic(l/3 + l); 



9° enfin , il en résulte évidemment 



P,=ip(3 — ^^5y et P,=iP(â+|/5)'; d'où P^=P.P,. 



IX. Dans tout pentagone régulier P , si l'on construit extérieure- 

 ment des carrés sur les côtés c, on a les sommets d'un décagone 

 régulier concentrique dont 10c et 2P-f-Sc' sont les mesures du 

 contour et de l'aire. 



X. Dans tout hexagone régulier H, de côté c, les diagonales 

 non diamètres valent chacune c\/ Z et chacune est coupée par deux 

 autres en trois parties égales, aux sommets d'un hexagone régulier 

 H, , concentrique. De plus, si l'on prolonge dans les deux sens les 

 côtés de H jusqu'à ce qu'ils se rencontrent deux à deux, on a les 

 sommets d'un hexagone régulier H, concentrique, de côté c[/ô; 

 d'où H, = ^ H , Hs = 3H et H' = H, H,. Enfin , les sommets de H, 

 et de H sont ceux des angles rentrants et des angles saillants d'un 

 dodécagone régulier étoile, double de H, ; tandis que le dodécagone 

 régulier étoile , dont les sommets sont ceux de H et de Hj vaut 2H. 



XI. Dans tout hexagone régulier H, si l'on construit extérieure- 

 ment des carrés sur les côtés c, on a les sommets d'un dodécagone 

 régulier , de côté égal à c et dont l'aire vaut 2H-l-6c'. Son rayon r 

 est donné par r' = e' (2-j-l/ 5) ; donc Sr' en exprime l'aire. 



XII. Pour qu'un dodécagone régulier, de côté c donné, puisse 

 s'inscrire dans un hexagone régulier concentrique , il faut que le 

 côté de celui-ci ait pour mesure ^c(3+2j/ 3). De plus, a, r etU 

 désignant l'apothème, le rayon et l'aire du dodécagone, on a 



a=2c(2-}-(/5), >' = c'(2 + >/3), D = 5r= et r= = 2ac. 



XIII. Les trois demi-circonférences intérieures décrites sur cha- 

 cun des côtés c d'un triangle équilatéral , comme diamètre , passent 



