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dre égaux ces deux côtés; et alors on aurait un triangle équivalent 

 et de périmètre moindre que le proposé minimum ; chose ab- 

 surde. 



III. Réciproquement, le triangle isocèle est le plus grand de tous 

 les triangles isopérimètres de même base commune, — Si tous les 

 triangles étaient équivalents, on vient de voir que le triangle iso- 

 cèle aurait le moindre périmètre. Donc, pour que ce triangle isocèle 

 devienne isopérinjètre avec tous les autres , il faut que ses deux cô- 

 tés égaux augmentent et restent égaux ; il faut donc aussi que sa 

 hauteur augmente : donc il est le plus grand de tous. 



Corollaire. Le triangle équilatéral est le plus grand de tous les 

 triangles isopérimètres. — Carie triangle équilatéral diminue, sans 

 que la longueur du périmètre change, lorsqu'on rend inégaux deux 

 quelconques de ses côtés. 



IV. Parmi tous les trapèzes équivalents, c'est-à-dire ayant même 

 hauteur et bases parallèles égales chacune à chacune, celui de moin- 

 dre périmètre est isocèle. — C'est ce qu'on démontre en divisant le 

 trapèze proposé, non isocèle, en un triangle et un parallélogramme. 

 — La réciproque est vraie. 



V. Le périmètre de tout quadrilatère est plus grand que celui d'un 

 losange équivalent. — D'après le théorème II ci-dessus , il est évi- 

 dent que le périmètre diminue en passant de tout trapèze et de tout 

 quadrilatère, convexe ou concave, au quadrilatère équivalent com- 

 posé de deux triangles isocèles inégaux, situés de part et d'autre de 

 l'une des diagonales, base commune. Le périmètre diminue encore 

 en passant de ce dernier quadrilatère, ainsi que de tout rectangle 

 et d'un parallélogramme quelconque , au losange équivalent cher- 

 ché. 



Remarques. Suivant qu'on prend l'une ou l'autre diagonale pour 

 base des constructions , dans tout quadrilatère convexe , on obtient 

 deux losanges équivalents dont les périmètres inégaux sont moin- 

 dres chacun que celui du quadrilatère. — Mais pour le rectangle, 

 les deux losanges sont égaux. — De simples transpositions de parties 

 transforment , 1° tout losange en un rectangle équivalent de moin- 

 dre périmètre ; 2° tout rectangle en un losange équivalent et de con- 

 tour plus petit. 



VI. Réciproquement , le losange est plus grand que tout quadri- 

 latère isopérimètre. — Si le losange était équivalent au quadrila- 

 tère , il aurait un périmètre plus petit que celui de ce dernier (V). 

 Donc, pour que les deux figures soient isopérimètres, il faut que le 



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