>>18 J.-N. Noël, — Simplification des éléments 



contour du losange augmente; ce qui exige que ce losange devienne 

 plus grand que le quadrilatère. 



VII. Le périmètre du carré est moindre que celui de toute figure 

 plane équivalente, de trois ou quatre côtés. 



Soit scie côté du carré équivalent à la figure plane proposée et p 

 le périmètre de cette dernière. Si elle est un triangle quelcotique, 

 de base 6 et de hauteur h , il est clair qu'on aura 



x' = |i/i et /j>6-{-2/i. 



Élevant au carré les deux membres de l'inégalité, puis observant 

 que d'après l'algèbre, la somme des carrés de deux nombres est tou- 

 jours plus grande que leur double produit , tandis que 16x'=86A, 

 on aura successivement : 



fyb^+m-{-libli, p«>8Wi>16x' et 4x<p. 



Pour le secteur circulaire dont a est l'are et r le rayon , il vient 



x^ = lar et j)=a + 2r. De là donc 4x<p. 



Ce résultat s'applique au demi-cercle dont a est la demi-circon- 

 férence. — Ce mode de démonstration s'appliquerait directement 

 au rectangle, au parallélogramme et au trapèze. Mais, comme le 

 contour du losange est moindre que celui de tout quadrilatère équi- 

 valent (V), il suffît de faire voir que le contour du carré est moin- 

 dre que celui du losange équivalent, de base b et de hauteur h. Or, 

 pour cela on a 



x' — bh et 7)>2i-f2/t; d'oii 4x<p. 



Enfin, pour le trapèze circulaire, différence de deux secteurs 

 dont }•, r' senties rayons et a, a' les arcs semblables, c'est-à-dire 

 chacun la même fraction k de la circonférence à laquelle il appar- 

 tient , d'où a=^'2rrrk et a'='2.7rr'k ; il est facile de voir, en posant 

 r — > ' = h , qu'on aura 



x« =j/i(a-l-a') et /)=a-fa'+2A; d'où 4x<p. 



VIII. Réciproquement, le carré est plus grand que toute figure 

 plane isopérimètre , de trois ou quatre côtés. — Si le carré a;'-' était 

 équivalent à la figure plane F proposée , dont p est le périmètre , on 

 vient de démontrer qu'on aurait 4a;<[p. Donc, pour que ix de- 

 vienne égal à p , il faut que x augmente et par suite x'. De sorte 

 que si 4x= /j, on a x'^F. 



IX. Parmi tous les secleurs de différents cercles et isopê rimé 1res , 



