de géométrie. 519 



h plus grand est celui dans lequel l'arc et le diamètre sont égaux au 

 demi-périmètre donné. — Soit S l'aire , p le périmélre , a l'arc el r 

 le rayon du secteur circulaire cherché. On a donc 



a+2r=p et iar=S; d'où »•=ip±^^ •jij//— S. 



Puisque/) est seul donné, on voit que \e maximum de S répond 

 â 2r=a=ip. Mais ces valeurs répondent aussi au minimum de p 

 quand l'aire S est seule donnée. 



Remarque. Soit k la fraction par laquelle il faut multiplier la 

 circonférence pour avoir l'arc a ci-dessus, d'où a=2jrrA-. A cause 

 de a=2r, il vient k!r=l et k = l sur 3-=0,3183099. Convertis- 

 sant l'arc a en degrés, minutes et secondes, on trouve a=360°X 

 0,01831 = 114° 35' 50" , à moins d'un quart de seconde près, en 

 plus. — On voit d'ailleurs que le secteur maximum est équivalent 

 au carré fait sur {p. 



X. Parmi tous les quadrilatères formés avec quatre côtés donnés , 

 dont deux opposés sont égaux , le plus grand est le trapèze isocèle. 



Soient a et 6 les longueurs des deux côtés opposés inégaux , c dé- 

 signant la longueur de chacun des côtés égaux opposés. Supposant 

 a>6 soient X et y les prolongements des côtés c jusqu'à leur inter- 

 section ; soient tel t' les deux triangles résultants, ayant un angle 

 commun compris par les côtés x, y de t et compris par les côtés 

 c-{-x, c-\-y de t'. On a donc 



t':t=(c-{-x') (c-\-y):xy. 



Soit Q le quadrilatère formé avec les côtés donnés : il est évident 

 que Q = ï' — t, et qu'ainsi la proportion précédente donne 



Q:i = c«+cx-j-c?/:x)/. 



D'ailleurs, pour l'aire «en fonction de ses côtés 6, x, y, on a 



Éliminant *et posant »=« + !;, y=n — v, on trouve 



Si n a la valeur qui convient au maximum du quadrilatère Q , il 

 est évident que ce maximum répond à v==0; d'où x=y^n et 

 c-\-x^=c-\-y. Les deux triangles t et t' étant donc alors isocèles, 

 6 est parallèle à a et parlant le quadrilatère Q maximum est un tra- 

 pèze isocèle. 



