520 J.-N. Noël. — Simplification dos cléments 



Remahoue. On (Jémonirc en trigononiclrie que : De tous les r/iia- 

 driialères formé'/ avec quatre côtés donnés , le plus rjrand e'it iiiscrip- 

 tible dans un cercle; cl ce théorème fournil le jucccdenl, comme 

 corollaire immédial. 



XI. Le polygone réfjitlier est plus grand que tout polygone fsopé- 

 rimètre du niénie nombre de côtés. — Car, d'après le Ihcor. III ci- 

 dessus, le polygone maximum esl équilatéral , cl en vertu du thèor. 

 X , il a tous ses angles égaux : donc il est régulier. 



XII. Réciproquement, parmi tous les polygones équivalents , du 

 même nombre de côtés , le polygone régulier a le plus petit périmè- 

 tre, — Si le périmètre avait la même longueur pour tous, on vient 

 de voir que le polygone régulier serait le plus grand : donc, pour 

 qu'il devienne équivalent à chacun des autres polygones, il faut 

 qu'il diminue ; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que son périraè- 

 tre diminue lui-niémc et devient le plus petit de tous. 



XIII. Le cercle est plus grand que tout polygone régulier isopéri- 

 mètre. — Les deux figures étant rendues concentriques, il est clair 

 que leurs contours , ayant la même longueur, ne jieuvent cire l'un 

 eniièrcment hors de l'autre cl qu'ils se coupent nécessairement. 

 Mais alors le rayon du cercle est évidemment plus grand que l'apo- 

 thème du polygone régulier ; donc le cercle est plus grand que ce 

 polygone. 



ConoLLATRE. Le cercle est plus grand que toute figure plane rec- 

 liligne isopériiiièire (XI). 



XIV. La circonférence est moindre que le périmètre de tout po- 

 lygone régidier équivalent au cercle. — Ce théorème , réciproque 

 du précédent XIII, se démontre comme le théorème XII. 



Corollaire. La circonférence est moindre que le périmètre de 

 toute figure plane reeliligne équivalente au cercle (XII). 



XV. Le cercle est plus grand que toute figure plane, mixte ou 

 curviligne, isopérimètre. — On sait qu'il n'y a aucune erreur finale 

 commise sur les aires cl les périmètres quand on regarde le cercle et 

 la ligure proposée comme deux polygones reciilignes du même 

 nombre infini de côtés. Or , le cercle étant alors un polygone régu- 

 lier du même nombre de côtés que la figure plane isopérimètre, de- 

 venue rcctiligne, est plus grand que cette dernière (XI). 



Remarque. Le plus grand espace plan renfermé par un contour 

 de 600 mètres, étant un cercle , il esl facile de calculer l'étendue 

 plane maximum proposée, aire de ce cercle. On peut comparer à 

 l'hexagone régulier, etc. 



