de géométrie. S21 



X\ I. Réeiproquemenl, la circonférence est moindre que le con- 

 tour de toute figure plane, mixte ou curviligne , équivalente au cer- 

 cle. — C'est ce qu'on démontre en raisonnant comme pour le théo- 

 rème XII. 



XVII. Comparaison de deux polygones réguliers P et P' de n et 

 n-f-v côtés, — Soient c et (/ les contours ou les périmètres de ces 

 deux polygones ; r et r' leurs rayons ; a et a' leurs apothèmes : on a 

 d'abord 



P=iac et P'=ia'c'. 



Cela posé, 1° si r=r', les deux polygones réguliers Pet P'sont 

 inscriplibles dans le cercle de rayon r; et alors le contour c' a w-j-y 

 points communs avec la circonférence, tandis que le conioiir c n'en 

 a que n. Ainsi c' approche plus de celte courbe que c ; donc c'>c 

 et partant («'>■« : cela donne P'>P. Donc de deux jmlygones régu- 

 liers de même raynn, celui qui a le plus de côtés est le plus grand et 

 a le plus grand périmètre, 



2° Si a— a', les deux polygones réguliers P et P' sont circon- 

 scriptibles au cercle de rayon a; et alors, comme le contour c' a 

 n-\-v points communs avec la circonférence , tandis que le contour 

 c n'en a que n, d'où >'<^)', il en résulte que c' approche plus de 

 cette courbe que c. Donc c'-<c et par conséquent P'<P. Ainsi de 

 deux polygones réguliers de même apothème , celui qui a le plus de 

 côtés est le plus petit et a le moindre périmètre, 



0° Puisque quand a = n', on a c'<[c, on voit que le contour c' 

 doit augmenter pour devenir égal à c. Mais alors l'apothème a' aug- 

 mente nécessairement et devient plus grand que a. Ayant donc à 

 la fois c'=c et a''^a, il en résulte P'>P. Ainsi, de deux polygones 

 réguliers isopérimèlres , celui qui a le plus de côtés est le plus grand. 

 Voilà pourquoi le cercle est plus grand que tout polygone régulier 

 isopérimètre. 



4° Enfin, puisque quand c'=c, on a P'>P, il est clair que P' doit 

 diminuer pour devenir équivalent à P. Mais alors le contour c' dimi- 

 nue aussi et devient plus petit que le contour c. On voit que de 

 deux polygones réguliers équivalents , celui qui a le plus de côtés, a 

 le plus petit périmètre. Voilà aussi pourquoi la circonférence est 

 plus petite que le périmètre de tout polygone régulier équivalent au 

 cercle. 



XVIir. La longueur de tare de cercle est un minimum parmi les 

 courbes planes qui, ayant une corde commune, enferment entre 



