522 J.-N. Noël. — Simplification des êlêiiients 



elles et cette corde des surfaces équivalentes. — Soil « l'iirc circulaire 

 et 6 l'arc de l'une des courbes proposées; soit achevée la circonfé- 

 rence et soit a' le restant de la courbe , alors fermée. La circonfé- 

 rence a-f-a' et la courbe 6-1-ft' terminent donc deux surfaces équi- 

 valentes; par conséquent (XVI) on a a-|-a'<;^6+«' et a<^6. 



Corollaire. Réciproquement, entre tous les arcs de courbes de 

 même longueur , ayant une corde commune , Varc circulaire est ce- 

 lui qui enferme la plus grande surface entre lui et sa corde. — Si les 

 surfaces enfermées étaient équivalentes, l'are circulaire a serait le 

 plus petit; donc, pour qu'il ait la môme longueur que tous les au- 

 tres, la corde commune restant invariable, il faut qu'il augmente, 

 aussi bien par suite que la surface enfermée par lui et la corde; cette 

 surface est donc la plus grande de toutes. 



Remarque. On démontre aussi qu'entre tous les segments de diffé- 

 rents cercles, mats terminés par des arcs de même longueur, lederni- 

 cercle et le segment maximum; et réciproquement, de tous les seg- 

 ments équivalents, pris dans différents cercles, le demi-cercle est 

 celui d'arc minimum. 



XIX. Si en suivant le contour d'un parallélogramme, on prend 

 sur chaque côté la première des n parties égales de ce côté , les 

 quatre points de division, ainsi obtenus, sont les sommets d'un pa- 

 rallélogramme inscrit, dont le minimum est la moitié du parallé- 

 logramme proposé. — C'est ce qu'on démontre par des triangles 

 ayant un angle égal et par la résolution d'une équation du second 

 di'gré. — Démonstration analogue pour le théorème que voici : 



XX. Dans tout parallélogramme P, les parallèles à une diago- 

 nale, retranchant deux triangles égaux et opposés, déterminent sur 

 les cotés les sommets d'un parallélogramme inscrit, dont le muxi- 

 mum est la moitié de P. 



XXI. Si en suivant le contour d'un quadrilatère quelconque Q, 

 convexe ou concave, on prend sur chaque côté la première des n par- 

 ties égales de ce côté, les quatre points de division, ainsi obtenus, 

 sont les sommets d'un quadrilatère Q' inscril, dont le minimum est 

 un parallélogramme équivalent à 5 Q. — Ce théorème généralise le 

 précédent XIX; et si l'on pose 1 sur »i=x,»)i désignant le rapport de 

 Q' à Q, on trouve le minimum de Q'par m=l — 2a;-l-2x'. 



XXII. Il existe une infinité de parallélogrammes inscrits dans 

 un rectangle donné, ayant leurs côtés parallèles aux deux diagona- 

 les , tous de périmètre minimum égal au double de l'une d'elles, et 



