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dont un seul losange , le plus grand de tous ces parallélogrammes. 



— C'est ce qu'on démontre par les ihéorèmcs let XX. 



XXIII. Dans tout rectangle ABCD , si le point P, situé sur BG 

 de telle sorte que PC soit moindre que|BC, se meut suivant quatre 

 chemins rectilignes rencontrant les côtés CD,DA,AB, BC aux 

 points M, N, 0, Q ; la somme de ces quatre chemins PM, MN, 

 NO , OQ est un minimum dès que deux chemins partiels contigus 

 font deux angles égaux avec le côté auquel ils aboutissent. De plus , 

 menant DE parallèle à PM, E appartenant à BC, il résulte des 

 propriétés du parallélogramme et du triangle isocèle , que la somme 

 minimum est constante et égale à 2DE, même quand il n'j' aurait 

 que trois chemins partiels pour revenir sur BC. Or cela arrive quand 

 PC^jBC ; car le premier chemin partiel , parallèle à ED , ren- 

 contre alors AD avant CD, c'est-à-dire qu'alors le sens dumoiwement 

 est contraire, vu que le point mobile P va de AD à DC et de DC à 

 CB : aussi alors la distance DM est-elle négative et mesurée sur le 

 prolongement de CD. — La somme minimum est donc la plus 

 grande possible quand le point E tombe en B ; et c'est alors le con- 

 tour minimum constant d'un parallélogramme inscrit (XXII). — 

 Enfin, ce contour est déterminé quand les points P et M ou P et N 

 sont donnés , comme dans le jeu de Billard. 



XXIV. Soit P un point situé sur le côté AC du triangle équila- 

 téral ABC : si P se meut vers les côtés successifs et décrit les che- 

 mins rectilignes parallèles à ces côtés , chacun à chacun ; 1° lorsque 

 PA <^|AC, le point P décrit trois chemins partiels pour revenir 

 sur AC, et la somme de ces trois chemins est (théor. I) un minimum 

 égal à AC -}- PA ; 2° après six chemins partiels, le point mobile est 

 revenu à sa première position sur AC , et la somme de ces six che- 

 mins est encore un minimum égal au périmètre du triangle ABC. 



— Il est clair que si PA=|AC=jc, M désignant le milieu de 

 AB = c et Q un point de BC, le chemin PMQ est un minimum dès 

 que BQ = jC, tandis que la longueur de ce chemin minimum a 

 pour mesure |cl/ 3. 



XXV. Soient a et 6 les côtés contigus d'un parallélogramme tra- 

 cé P : si l'on en suit le contour et qu'on prolonge chaque côté de la 

 même longueur x arbitraire; les points, ainsi obtenus, sont les 

 sommets d'un parallélogramme P' imcrit,ào'i\\.\t minimum répond 

 àa;= —\{a-\-b'), valeur à interpréter. — Pour o=6,le minimum 

 de P' se réduit à jP. — Si les deux côtés a et 6 sont inégaux, la 

 somme des carrés des côtés de P' est-elle susceptible de minimum? 



