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polygone rectiligne ci-dessus doit-elle et peut-ello en fjiro nier l'exis- 

 tence ? 



Considérons les deux points M et N, aussi éloignés l'un de l'autre qu'on 

 veut le supposer. Si le point M s'avance infiniment peu vers chacune des po- 

 sitions instantanées successives du point N, lui-même mobile sur une 

 droite fixe, formant avec la droite MN un angle quelconque donné : il est 

 clair qu'à l'instant précis où ce double mouvement commence, le point M 

 décrit une ligne continue. Or, est-on bien fondé à afiirmer que cette ligne dé- 

 crite it ne peut être droite suraucune étendue? «Je ne le crois pas, car l'un des 

 moindres mouvements instantanés du point M, vers chacune des positions 

 successives du point N, décrit nécessairement une droite infiniment petite , 

 eWmenf invisible de la courbe résultante ; et cette courbe alors est une ligne 

 brisée , laquelle n'en est pas moins une ligue continue , vu que le point dé- 

 crivant M se ment continuement , en se détournant k chaque instant et sans 

 cesse , par angles naissants ou infiniment petits , pour s'avancer vers chacune 

 des positions successives du point N. — Pour qu'il n'y eût aucune droite dé- 

 crite, il faudrait que M demeurât en repos. Et remarquez d'ailleurs que si 

 les mouvements deM et N sont uniformes, tous les éléments rectilignes décrits 

 sont égaux. 



Dans celte appréciation complète du fait de la description de toute courbe 

 plane, je ne vois rien d'incompréhensible ni de mystérieux, rien d'absurde 

 ni de contradictoire et rien qui détruise la continuité. Il en résulte donc que 

 le cercle peut toujours se traiter comme un polygone régulier , dont le rayon 

 et l'apothème sont égaux. 



On ne manquera pas d'objecter que la circonférence ne peut jamais avoir 

 trois points en ligne droite. Mais, pour chaque côté infiniment petit du po- 

 lygone régulier ci-dessus, les deux extrémités coïncident en quelque sort© 

 avec le milieu. D'ailleurs , dès que l'on établit une distinction entre l'arc cir- 

 culaire infiniment petit et sa corde, on trouve nécessairement une flèche. 

 Mais celle-ci est un nombre infiniment petit du second ordre, nul à l'égard 

 de l'arc proposé. 



En général , le calcul apprend que la courbe plane quelconque C ne sur- 

 passe la longueur de la ligne brisée B, inscrite et d'une infinité de côtés infini- 

 ment petits, que d'un infiniment petit du second ordre i^ , de telle sorte 

 qu'on a C=B+i'. Et comme ici on ne cherche que la longueur finie de C , 

 il est clair que l'infiniment petit i° ne saurait en faire partie, et qu'ainsi, en 

 longueur finie , on a rigoureusement C=B. Cela revient à supposer d'abord 

 que B co'incide avec C ou que chaque arc infiniment petit de C se confond 

 avec sa corde, côté de B. (Voyez à ce sujet la théorie infinitésimale ap- 

 pliquée). 



39. Un nombre est infini lorsqu'il surpasse tout nombre imaginé, si grand 

 que soit ce dernier. Un nombre infini est donc absolument inexprimable en 

 chiffres et restera toujours inconnu. Tel est évidemment \e nombre de toutes 

 les fractions possibles comprises entre 1 et 2, par exemple. — Un nombre 

 est dit :n/înimfn(pe(ii quand ilest moindre que tout nombre assigné, si pe- 

 tit que soit ce dernier, sans être nul ; car le néant n'est pas un nombre. Un 



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