B2f> J.-iV. Noël. — Simplification des éli'incnts 



nombre infiniment petit n'est donc pas exprimable en chiffres et restera tou- 

 jours inconnu. Telle est nécessairement la différence d suivant laquelle toutes 

 les fractions possibles, entre 1 et 2, croissent successivement. — L'exis- 

 tence du nombre infini et du nombre infiniment petit ci-dessus est certaine, 

 bien qu'ils soient inimaginables ; et toutes les fractions possibles entre 1 et 

 2 ont nécessairement leurs termes entiers infinis et un dénominateur infini 

 commun. — Il ne s'agit pas ici de calculer ces fractions , ce qui est impossi- 

 ble, mais d'en prouver l'existence, ce qu'on vient de faire. 



Or, si je comprends bien l'article (p. 58 etsuiv.. Revue pédayoyique, 15 fé- 

 vrier 1856), on nie l'existence des nombres infinis, infiniment petits et irra- 

 tionnels parce qu'on ne peut jamais les calculer et qu'Us restent toujours in- 

 connus; d'où résulterait , par exemple, que dans A=B i/ 12 , le rapport i/12 

 n'existe pas et que cette égalité est absurde ! 



J'ai démontré que la racine carrée de 12 n'est pas une fraction dont les 

 deux termes, premiers entre eux, aient chacun un nombre limité de chif- 

 fres ; ils en ont donc chacun une infinité et sont infinis. De sorte que i/ 1 2 

 est une fraction inconnue , k termes infinis , comprise entre 3 et 4, et l'on a 

 nécessairement A=B/1 2. — Sans doute que la valeur approchée de A n'est 

 pas A lui-même ; mais le rapport approché n'en indique pas moins comment 

 on trouve la valeur approchée de l'antécédent au moyen du conséquent seul. 

 — Puisque v/ 12 est une fraction k termes entiers infinis , le commun divi- 

 seur X. des grandeurs continues A et B existe nécessairement , mais il est in- 

 finiment petit. 



On dit (Revue , p. 62] : « Quant aux fractions k termes infinis qui existe- 

 » raient entre 3 et 4 , limites de / 12 , ce que nous avons dit plus haut suf- 

 » fit pour démontrer que leur existence n'a rien de réel. » Or, quelle est 

 cette démonstration? Elle consiste simplement 'a nier l'existence d'une infi- 

 nité de fractions possibles, à termes infinis, comprises entre 1 et 2; et cela 

 toujours parce qu'il est impossible de calculer ces fractions. Car il ne s'agit 

 pas ici de s'en tenir o à l'idée générale que comporte la possibilité d'insérer 

 entre 1 et 2 autant de fractions qu'on voudra ; » mais il faut les calculer tou- 

 tes ; chose aussi impossible que d'en compter le nombre infini. — Peut-on, 

 d'après cela , affirmer avec exactitude que toutes les fractions possibles entre 

 1 et 2 n'existent pas? — Toutes ces fractions ont le même dénominateur in- 

 fini p, et les numérateurs infinis sont successivement p+1 , i) + 2. p-\-i 



2p — 1. Et comme l'une des fractions à termes infinis, comprise entre 1 et 

 9 , se réduit ^ , il faut que ces deux termes aient uu facteur infiai commun , 

 contenu 7 fois et 4 fois dans le numérateur et le dénominateur. 



Il est sans doute inutile de répéter ici que pour démontrer l'égalité des 

 rapports entre deux couples de quantités continues, il n'est pas nécessaire da 

 calculer ces deux rapports : il suffit de savoir que les deux termes de chacun 

 ont toujours un commun diviseur assignable ou inassignable, fini ou infini- 

 ment petit, connu ou toujours inconnu ; ce qui simplifie la démonstration et 

 la rend complètement rigoureuse, en supprimant la distinction des deux cas: 

 commensurable et incommensurable : c'est la méthode des parties égales. 



S'il s'ilgissait de calculer le rapport de deux lignes tracées A et B (droites 



