de géométrie. 527 



ou arcs circulaires de même rayon), on chercherait la plus grande commune 

 mesure des lignes A et B : il en résulterait une fraction continue , limitée for- 

 cément ou non , laquelle ferait toujours connaître le degré d'approximation du 

 rapport numérkjue cherché , en supposant toutefois les divisions exactement 

 effectuées. Mais ce double problème doit être résolu avant d'aborder la théo- 

 rie des lignes proportionnelles ; car alors celle-ci devient plus claire et plus 

 simple. 



Il y aurait pétition de principe si , afin de démontrer l'égalité des rapports 

 A;B et C;D, les grandeurs C etD kia.nl incommensurables entre elles , on se 

 servait des fractions continues pour calculer les deux rapports ; car C et D 

 ont toujours un commun diviseur infiniment petit inconnu , et la démons- 

 tration d'ailleurs serait beaucoup plus compliquée. Dans ce cas, en effet, 

 on trouverait, pour les deux rapports proposés, un même nombre r, avec 

 les deux restes variables a; et y, qui échapperaient aux instruments. De sorte 

 qu'on aurait l'équation toujours exacte 



A:B — a; = C:D — y ou A:B=C:D + x — y. 



Or, Kevue , p. 63 : » avant d'eu conclure que A:B=C:D, il faut d'abord 

 » démontrer que a;=y. On est sans doute de cet avis , puisqu'on essaie de dé- 

 » montrer, par la méthode des variables , qu'on a réellement a:=y. » — On 

 n'essaie pas, mais on démontre effectivement. — « Mais alors que dire de la 

 » méthode qui déduirait la seconde de ces égalités de la première , parce que 

 » a; et y étant des infiniment petits sont négligeables relativement aux rap- 

 )» ports A:B et C:D. » — On dira que les restes a; et y , bien qu'échappant 

 aux instruments les plus précis, par leur petitesse, ne sont pas infiniment 

 petits et qu'ainsi la méthode infinitésimale n'est pas applicable à ce mode de 

 démonstration, à cette longue pétition de principe. 



Dans a; — y, on peut toujours poser x = vy, sans devoir s'enquérir d'a- 

 bord si le rapport u est rationnel ou non, vu que ce rapport existe dans les 

 deux cas. Il en résulte donc x — y=^y {v — 1), et cela même quand ou au- 

 rait a; < y. 



Les autres difficultés soulevées dans l'article ci-dessus sont déjà résolues ; 

 et, en disant, p. 56, théorie infin. appliquée : « Il est| clair, que si la différen- 

 » ce y — y' (qui n'est pas nulle, mais variable) devait.... », je rappelais 

 un fait démontré , p. 17, et que M. Batteux n'avait pas sans doute re- 

 marqué. — Enfin, la longueur de la circonférence est certainement égale à 

 celle d'une droite qui sera toujours inconnue; mais les méthodes pour cal- 

 culer le rapport approché de la circonférence au diamètre n'exigent aucune- 

 ment que cette courbe soit étendue en ligne droite, ce qui serait d'ailleurs 

 impossible. On obtient donc ce rapport sans l'hypothèse que la circonférence 

 soit rectifiée. 



40. Dans la Revue pédagogique, p. 347, on lit :« .... plusieurs géomètres se 

 sont habilement servi des considérations infinitésimales, pour faire descen- 

 dre dans les éléments des propositions d'analyse , dont la connaissance est 

 utile au physicien. Ces essais, eu rendant l'étude de la physique accessible 

 à un plus grand nombre de personnes, n'ont pas peu contribué aux progrès de 

 cette science; mais précisément "a cause de cela, nous croyons qu'ils ont ex- 



