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la quadrature des aires curvilignes, planes et courbes, et pour la cubature 

 de certains volumes ronds. 



44. On sait que la partie élémentaire du calcul différentiel n'est en réalité 

 que \e calcul des fonctions dérivées, démontré très-simplement en algèbre, 

 où il sert de base à plusieurs théories importantes. Il y a sans doute plusieurs 

 procédés pour établir le calcul des dérivées, ainsi que le théorème deTaylor 

 qui en résulte ; mais je pense toujours que la méthode la plus claire et la plus 

 simple doit d'abord définir la /onction dérivée ; et pour cela, voici comment 

 j'ai procédé dans la 5"« édition du Traité 'd'algèbre : 



Soit «une fonction implicite de la variable x , de telle sorte qu'on ait u=ïx. 

 Soit u' ce que devient celte fonction lorsqu'on y change x en x-\-h, d'où 

 u' = f(x-|-/i) ; et cherchons quelle forme doit avoir le développement de 

 f (x-f-A). Or, comme u'se réduit k fx ou u lorsqu'on y fait /i=0, on est au- 

 torisé à poser 



u'=f(a;-f-A)=u+ Ah + BA'+C/i' + etc (1) 



A, B, C, .... étant des fonctions inconnues dex et indépendantes de A. 



Cette forme satisfait à la condition d'avoir ii' = u quand h = 0, et le déve- 

 loppement doit procéder suivant les puissances ascendantes entières et po- 

 sitives àeh: 1» entières ; car, si le développement contenait un terme où A 

 aurait l'exposant j, par exemple, il est clair que pour une valeur donnée de 

 h, ce terme aurait trois valeurs différentes ; tandis que dans ce cas u' ne 

 doit en avoir qu'une seule , répondant k une valeur assignée à x, et qu'alors 

 le développement doit représenter cette valeur cherchée de «'. 2° positives ; 

 car , si le développement avait un terme affecté de l'exposant négatif — 2 de 

 h et prenant la forme N:ft , ce terme, pour /s = 0, serait impossible; vu que 

 N étant fonction de la variable a; seule et celle-ci restant absolument indéter- 

 minée, N ne saurait s'anéantir par h=0; de sorte que le terme proposé na 

 saurait devenir j. Donc le développement serait impossible lui-même, tandis 

 que pour h^O , il se réduitk u. 



Ces considérations prouvent bien que tous les exposants de ft sont entiers 

 et positifs , mais il n'en résulte pas nécessairement que ces exposants crois- 

 sent suivant les nombres naturels 1 , 2, 5, 4, etc. D'ailleurs aucun des coeffi- 

 cients A, B, C, ... ne s'évanouit tant que x reste indéterminée. On peut donc 

 toujours admettre que le développement (1) est exactement celui de l{x-{-h), 

 tant que x et ft restent indéterminés ; cela revient k considérer uniquement 

 les fonctions , en grand nombre , qui peuvent se développer sous la forme (1 ) 

 proposée. 



Reste maintenant k calculer les fonctions A, B, C, .... nécessairement tou- 

 tes dépendantes de la proposée u. La première A en dépend plus immédia- 

 tement que les autres ; et c'est pourquoi A est dite la dérivée de u : elle s'en 

 déduit ou en dérive d'après une opération constante, dont d est le signe, 

 opération qui varie pour chaque genre de fonction , et l'on a A=du ; d étant 

 la lettre initiale du mot dérivée et du s'énonçant dérivée de u, ou simplement 

 d, u. 



Ainsi la dérivée de toute fonction de la variable x est le coefficient de la 



