des normales dans les courbes du second degré. 1 1 



celte Ljperbole, on tracera autant de points qu'on voudra en se ser- 

 vant de la propriété que toute sécante de l'hyperbole , comprise entre 

 les assjmpiotes , ferme trois segments dont les deux extérieurs sont 

 égaux. 



10. Cherchons maintenant les équations au moyen desquelles on 

 peut déterminer les coordonnées des pieds des normales. Pour cet 

 effet combinons les équations a'j/'+ô'a;' = a'6' et c'xy = a''ky 

 — b'ix. 



En éliminant y entre ces équations , on trouve 



a'é'Z'a;'+(a:= — a'){c^x — o'ft)'=o ; ^ 



ou bien ( (16). 



c'ix'' — 2a'c'kx^-i-a-{a'b-tbH^- — c4)x'+2a'c'À\E — a^t=Q } 

 En éliminant ensuite x entre les mêmes équations , on trouve 



ou bien ( (17). 



c^y'i+2b'c'ly^-]-b'{,a't+b'l'—c'>]y''—2bk'ly—bH''=o i 



Ces équations en x et y sont chacune du quatrième degré et 

 présentent toujours le dernier terme négatif: donc, elles auront au 

 moins deux racines réelles , de signes contraires. Quant aux deux 

 autres , si elles sont réelles, il faut qu'elles soient de même signe ; 

 si elles sont imaginaires , il faut que leur produit soit positif : car 

 sans l'une ou l'antre de ces circonstances , le dernier terme des 

 équations ci-dessus ne pourrait être négatif. Les deux dernières 

 racines sont les seules qui de réelles inégales peuvent devenir égales 

 et même imaginaires. Si les quatre racines sont réelles , en j com- 

 prenant même le cas des deux racines égales , l'une d elles est néga- 

 tive et les trois autres positives. 



Remarque. I. Si Z=o , le point (A,o) est situé sur l'axe des x. Dans 

 ce cas, l'équation (16) donne 



x=±a, c'x=a''k. 

 On trouve les valeurs correspondantes «/, soit en posant ?=o dans 

 l'équation (,17), soit en substituant les valeurs de x, trouvées tantôt, 

 dans réquation de l'ellipse : il vient ainsi 



y=o, c^y'=b^{c^ — a'k^]. 



Il y a par conséquent quatre points oîi les normales menées du 

 point {k,o) peuvent aboutir. Deux de ces points appartiennent aux 

 sommets} de l'axe 2a de l'ellipse ; les deux autres sont réels. Pour 

 que cette dernière circonstance puisse avoir lieu, il faut qu'on ait 

 c'>a=A'. Or , c'i'Sl évidemment la condition pour qur le point (/f,o) 



