J2 J. Mai'.ty.nowski. — De la conatruclion 



ficnioure en dedans lie l'axo correspondant de la dcveloppée , n" 9. 

 Si l'on avait a/î— rtt', le point {k,o) serait situé sur l'un des som- 

 mets de la développée : dans ce cas, il n'y a que deux normales pos- 

 sibles et elles aboutissent aux extrémités de l'axe correspondant de 

 l'ellipse. Enfin si c'^<^a'k^ , les valeurs de y seraient imaginaires : 

 c'est le cas des points (1i,o) , situés en dehors de la développée, quel- 

 part sur l'axe des x de l'ellipse. 



JI. La même chose a lieu pour les points situés sur le second axe 

 de la développée. 



III. Les points des axes de la développée sont les seuls desquels 

 on peut abaisser sur l'ellipse quatre normales, dont deux aboutissent 

 aux extrémités de l'axe correspondant de l'ellipse et dont les deux 

 autres sont symétriques par rapport à cet axe. Pour qu'il y eût d'au- 

 tres normales symétriques il faudrait que les équations , ci-dessus 

 (IB) et (17), eussent des racines égales de signes contraires. Pour 

 trouver de telles racines , il faut, comme on sait , égaler à zéro, les 

 puissances paires et impaires de x et de 1/ dans les équations (16) et 

 (1 7). On relombe ainsi dans le cas déjà discuté des points situés sur 

 les axes de la développée. 



IV. Les équations , ci-dessus (IC) et {il) ne peuvent être résolues 

 par extraction de racine carrée : procédé qui consiste en ce qu'on 

 ajoute aux deux membres, soit le carré d'un nombre, soit le carré 

 d'un binôme en a; ou en »/, de manière à rendre les deux membres 

 carrés parfaits. Je renvoie, pour ce sujet, le lecteur au traité d'Al- 

 gèbre de M. Noël , prof. ord. à Liège. 



V. Les équations, ci-dessus (10) et (\1) , n'ont pas de racines 

 réciproques. 



VI. On peut assigner les limites des racines en a; et «/ des équations 

 (16) et (18) : car, la marche de l'hyperbole solulriee des normales 

 et des assymplotes , indique assez nettement le lieu de ces racines. 

 En désignant par 3:4, 0:3, X:, et a;, les racines en x de l'équation (16), 

 et commençant par la plus petite négative, on voit que — o et l'abs- 

 cisse négative, où l'assymptole c=!/= — b4 coupe l'ellipse, sont les 

 limites de 3-4 ; que les limites de xz sont o et ck; qu'enfin les limites 

 extrêmes des deux autres racines, sont c-x=a'k et l'abscisse positive 

 (!Ù l'assymptotc c'y^ — b'l coupe l'ellipse. Pour avoir la limite in- 

 termédiaire de ces deux dernières racines, il faut par le centre de 

 l'hyperbole solulriee, mener une droite inclinée de 135° sur l'axe des 

 X et cette droite, qui est l'axe réel de l'hyperbole en question , par 

 scn intciscclion avec l'ellipse, déterminTa rabseiï.sc positive qu'où 



