lies normnliS dans les courbes du second degré. 13 



peut prendre pour la limite intermédiaire des deux racines qui nous 

 occuppent. Si la substitution de la limite tantôt trouvée , avec les li- 

 mites extrêmes indiquées précédemment, ne donne pas des résul- 

 tats de signes contraires ; on en eoncluera que l'équation (16) n'a que 

 deux racines réelles. 



VII. Enfin les équations (16) et (17) peuvent avoir des racines 

 égales, comme nous le verrons, n° 12. 



11. En réprésentant par n la direction de la normale, on a , n° 5 



n^^^J=L. ...(18). 



Au moyen de ces équations , on détermine x ei y , valeurs qui 

 étant substituées dans l'équation de l'ellipse, fourniront 



(4»n'+a=)(Are— /)=c%» ; ) 



ou bien (19)- 



Cette équation et les équations correspondantes en a; et y du 

 n° 10, oui pour facteur du troisième terme, le trinôme a'A-'+i''/» — C. 

 Si l'on avait a»Â;'4-S=Z'==6'' , les termes n' et w de l'équation ci-des- 

 sus ayant toujours le même signe , il en résulterait , d'après la règle 

 de signes de Descartes , au moins deux racines imaginaires pour n. 

 Comme l'équation a'k'-\-h'I- = c^ représente l'ellipse construite sur 

 les axes de la développée, il s'ensuit que de tous les points de 1 el- 

 lipse o'/i:'-l-6'Z= = c* , on ne peut abaisser sur o'2/'-t-i'a;'^o'6' que 

 deux normales. Il faut aussi conclure que, pour la même condition 

 a''k^+b^l'= eS il y a deux racines imaginaires en x et y dans les 

 équations du n° 10. 



Quant aux signes des racines de n, on les déduira de la mauière 

 dont 1 hyperbole c'xy=a'ky — A'/x se comporte avec l'ellipse a'y + 

 i=x'=a î'. Les coordonnées de rencontre de ces deux courbes ne 

 pouvant présenter que cette suite désignes : ( — x, — y), {x,y)(x,~y), 

 (.r, — y) , il suit de l'équation (18) que les quatre racines de n sont , 

 deux à deux , de signes contraires. C'est d'ailleurs ce à quoi on pour- 

 rait parvenir par la règle de signes de Descarlcs. 



Remarque. Nous n'avons pas jugé nécessaire d'entrer ici dans la 

 discussion des valeurs de n , correspondantes aux cas de k ou <=o: 

 car celle discussion a été faite , n° 11. 



1 2. Problème des trois normales. Nous avons vu , n° 10, que d'un 

 joint (k,l) on ne pourra abaisser sur l'ellipse a'y'-\-b''x'==a'b^ que 

 trois normales, lorsque l'hyperbole cVy=a'% — b'ix est tangente 



