14 J. Marty.nowski. — De la conslractlon 



dx 



à l'ellipse. Pour que cela ail lieu , il faut (|ue — ^ail la môme valeur 



dans les deux courbes, savoir 



ay a'k—c^x 



En désignant par x,y les coordonnées courantes des tangentes 

 à l'ellipse et à l'hyperbole, on aura pour les équations de ces deux 

 droites , 



y y^ ~ ^^* -^' ' 



y —y= — T, — r-(*= *■)• 



a'k — c'x 

 En combinant ces équations avec les équations des courbes res- 

 pectives , on amènera les premières aux formes suivantes 

 a-yy'-\-b'xx'= a'b' , 

 (a'k — c''x]y' — (fi'y+b'l)x'= — c'scy. 

 En égalant, dans ces deux équations, les valeurs do y' corres- 

 pondantes à a;'=o et celles de x' correspondantes à y'=o , on fera 

 coïncider les deux tangentes. 



On trouve ainsi , tout calcul fait, 



c''x^=a'>k, c'j/'= — bH. 

 Comme le point [x,y) se trouve à la fois sur l'ellipse et sur l'hy- 

 perbole , en tirant les valeurs de a; et de y et en les substituant dans 

 l'équation de l'ellipse, on trouve 



Ç^a^-t+^bH' = ^ cl, 

 équation (II) de la développée de l'ellipse. Ainsi de tous les points 

 de la développée de l'ellipse, on ne pourra abaisser sur cette dernière 

 que trois normales , ou pour mieux dire quatre dont deux se con- 

 fondent en une seule. 



lUmarque. I. Les sommets de la développée jouissent de la pro- 

 priété particulière, que nous avons vuejn" 10. 



II. Par suite de la forme particulière (13) , à laquelle on peut 

 amener l'équation de la développée, l'équation en x du n° 10 

 devient 



cia;<— 2a'c'/cx'— 3a'a; |/ a'b c'ik'l'+2a'ic'kx-a<''t = o. (20). 



On connaît deux racines égales c''x^.=a''k de celte équation. 

 Quant aux deux autres, on les trouvera en observant que le coëlfi- 

 cicnl du second terme de riqualion (20) est la somme des racines 



