des normales dans les courbes du second degré. 1 3 



prises en signes conlraires e! que le dernier terme est le produit de 

 ces racines. De cette somme on retranchera le double de x , tiré de 

 l'équation c^x^=a^k,et l'on aura la somme des racines de l'équalion 

 (20) , différentes de celles qu'on suppose égales. On trouve ainsi 

 2a{ak—c}y'^, 



En divisant le produit des racines de l'équation (20) par le pro- 

 duit des racines égales, savoir 



—a^t : c"* par |/ (a^k^ : c'i) , 

 on trouve 



a^k \/âk 



Donc l'équation du second degré, qui donne deux racines inégales 

 de l'équation (20), est 



3 i » 



c'j;^— 2a(aA- — (p/ ac/£)x-a'/c\/— =0 ... (21), 



En changeant k en --1 et a en 6 , on aura les valeurs correspon- 

 dantes de y , savoir 



3 111 



cY—'^b(bl—c-'^bcl)y—hH\/—=o ... (22). 



13. Maintenant supposons que l'équation (16) soit partagée en 

 deux autres du second degré , de manière que l'une d'elles contienne 

 les racines réelles de signes conlraires, qui ont toujours lieu, et dont 

 l'autre contienne les racines susceptibles de devenir égales et même 

 imaginaires : on pourra ainsi traiter chaque équation à part. Or , 

 dans l'équation du second degré, susceptible d'avoir des racines éga- 

 les , la condition d'égalité sépare la réalité de l'imaginarité des 

 racines : donc , la développée de l'ellipse jouit de la propriété de sé- 

 parer la réalité de l'imaginarité des deux entre quatre racines , sus- 

 ceptibles de devenir égales dans l'équation (16). Nous avons vu n° 

 11 , que de tous les points de l'ellipse construite sur les axes de la 

 développée , on ne peut abaisser sur l'ellipse proposée que deux nor- 

 males : donc , de tous les points extérieurs à la développée, on ne 

 peut abaisser sur l'ellipse que deux normales. 



C'est ainsi qu'on peut démontrer que les propositions avancées 

 dans le n° 2, sont vraies. 



Nous verrons bientôt une démonstration plus complète de ces 

 propositions. 



14. Voyons maintenant ce qui arrive lorsque d'un point de 



