IC J. MartynowsKi. — Df la conslrucUon 



l'ellipse a''ij''-\-b'x' = a'l>\ on veut abaisser une nomiile à colle 



courbe. 



Si le point {k,l) estsur l'ellipse, ou aura à combiner les équations 

 suivantes 



a l +1) h' =a"b\c"xij=a hy — A'/jc. 

 En éliminant / , on trouve 



a'if[c'x — o'/£)'+A'^^x" = o'i^x'. 



Or, celte équation est satisfaite par k=x. Donc, en l'ordonnant 

 par rapport à k, on peut la diviser par k — x et abaisser le degré de 

 l'équation d'une unité. Après avoir effectué le calcul , on trouve 



I (o''— o<a;'+AV')fe— a^(o' — 2è')x— c'i.r' > (A— x)=o ... (23). 



k — X étant le facteur dont on a dégagé l'équation. On peut faire 

 deux hypothèses sur le facteur k — x, savoir : k^z.x on non. Si 

 k=x, on a nécessairement k=x,l=y ; de sorte qu'il ne s'agitd'autre 

 chose ici que d'élever la normale à l'ellipse au point désigné. Dans 

 ce cas , le second facteur de l'équation (23) donne l'abscisse k de l'ex- 

 trémité de la corde normale. Mais si k n'est pas égal à x, il faut 

 qu'on ait 



(a''— a'ix'-i-iV)*— o'i(a'— 26')x— c''a;'=o ... (24). 



Dansce cas, on donne surrellipsea'(/'-l-A'.r'=a'A', un point cor- 

 respondant à l'abscisse A- , et l'on se propose d'abaisser une ou plu- 

 sieurs normales sur la courbe elle-même. L'équation du troisième 

 degré en x , ci-dessus (24) , donne les pieds des normales cher- 

 chées. Comme cette équation est du troisième degré , elle peut avoir 

 trois racines réelles, dont deux inégales ou égales, ou bien une seule 

 racine réelle. Le premier de ces trois cas a lieu pour les points de 

 l'ellipse interceptés parla développée; le second, pour les points 

 d'intersection de l'ellipse et de la développée ; le troisième, pour 

 tous les points de l'ellipse en dehors de la développée et en général 

 pour tous les points de l'ellipse, lorsque celte courbe n'est pas coupée 

 par sa développée. Lorsqu'il n'y a pas d'intersection possible de 

 l'ellipse avec sa développée , on ne peut abaisser , dans le sens absolu 

 de ce mot , qu'une seule normale de chaque point de l'ellipse sur 

 elle-même ; mais on peut en ce point , lui élever une normale : c'est 

 ce qui donne deux racines réelles, toujours possibles, dans les 

 équations (10) et (17), du n" 10. 



Exemple. Posons, dans l'équation (24) , /,=o : hypothèse cjui fait 



