des normales dans les courbes du second degré . 1 7 



placer le point au sommet du plus petit axe de l'ellipse. L'équilion 

 (24) devient par suite de celte hypothèse 



a(a\a' — 2b')—c''x'') = o 

 ou bien 



x=o,c~x=± a'|/ (a' — 2i ') 



La première de ces solutions est facile à expliquer. Qaant aus 

 deux autres : elles ne sont d'abord réelles que lorsque a'>2é' ou 

 A<c Supposons que celte circonstance ait lieu : il reste encore à 

 prouver que la valeur dey correspondante à celle ci-dessus de x est 

 possible. 



On trouve, tout calcul fait , 





Et il est aisé de vérifier ccltj dernière expression. 

 On suppose b<^c : donc i'<^c' et par suite 



c c' 



Remarque. On parvient au même résultat en posant it=o et /=■ 

 — b dans l'équation (17). 



15. Sc/iolie. En résumant les considérations des n " 10, 11,12 

 13 et H , on arrivera à des propositions que nous avons énumérées 

 dans le n» 2. 



16. Voyons maintenant la manière la plus simple de résoudre les 

 équations (16) , (17) et (19). 



On sait que a'qy+b'px=a'b^ représente la tangente au point 

 (x,y) de l'ellipse a'y'+4^a;==a'A' , p et y étant les coordonnées cou- 

 rantes de la tangente et par conséquent extérieures à l'ellipse. Mais 

 si l'on donne les valeurs de p et de y; a; et y deviendront variables 

 à leur tour, dans l'équation a'qy+bpx=a'l)\ Comme on paul me- 

 ner deux tangentes à l'ellipse , léquation a'-qy+b'px=a'b' sera sa- 

 tisfaite par les coordonnées des deux points de contact et ne repré- 

 sentera par conséquent ni l'une ni l'autre des deux tangentes, mais 

 bien la sécante qui joint les deux points de contact. 



Cela posé, cherchons une sécante, telle que a'qy+6'pxr=ab\ 

 qui passe par les points d'intersection de l'ellipse a'y'+b''x-=a'li' 

 et de l'hyperbole c^'xy = a'ky—b^lx. En éliminant, tour à tour, y 

 et .7 entre les équations de la sécante et chacune des deux courbes , 

 on arrivera à ces quatre équations 



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