des normaics dans les courbes du second degré. 19 



c'/j'^— (a'A'-pA»/'— c^)j' — Sb'c'lq' — 2i (n'A"— 6»^ + c'')î'-l- 

 -i-3b''c'Iq'—b'ia't-[-b'l'—ci)q-/j^c'l=o ... (38). 



Celte équation donne six valeurs pour q ; et 1 équation (36) ou (37) 

 six valeurs correspondantes pour /;. Il y a donc six points {p , q) , 

 par lesquels on peut mener, deux à deux, douze tangentes qui 

 passent par les points d'intersection de l'ellipse proposée et de l'hy- 

 perbole solutrice des normales. Mais ces douze tangentes n'en font 

 que quatre distinctes passant par les pieds des quatre normales de 

 l'ellipse. Les six points {p,q), qu'on vient de trouver, sont les points 

 d'intersection des quatre tangentes , deux à deux. En substituant 

 les six valeurs de p et ^r dans l'équation de la sécante a''qy-\-byx=' 

 a^b' , on aura les équations des côtés du quadrilatère passant par les 

 pieds des normales , ainsi que les équations des diagonales de ce 

 quadrilatère. 



Remarque. I. Nous verrons, dans le n° suivant , comment en 

 combinant les équations (34) et (36) , on peut résoudre l'équation 

 (3S) du sixième degré en q. 



I I . En résolvant l'équation (25) on (26), on trouve sons le radical 

 le trinôme a'j'-j-ç'/)' — a'b'. D'où il résulte que la sécante a'qy-\- 

 b'px:^a'b'' ne peut couper l'ellipse a')/'-|-i a;''=o=i' que lorsque 

 a'q' + b'p-'^a-b- , c'est-à-dire lorsque le point (p,q) est extérieur à 

 l'ellipse. 



III. En posant y^o , dans l'équation u^qy-\-b"px=a'b' , et en 

 représentant la valeur correspondante de x par a-^, on trouve pxo 

 ■=a-; Xo est l'abscisse du point où la sécante a'yî/ + i'j)ji;=a'i" coupe 

 l'axe des x. Comme cette expression de x„ est indépendante de b , 

 il s'ensuit que si l'on construit la droite^^o=:a;„ , les tangentes, 

 deux à deux , menées de tous les points de cette dernière , jouissent 

 delà propriété d'avoir leurs points de contact avec l ellipse sur 

 diverses sécantes qui se coupent en un même point de l'axe des x , 

 correspondant à l'abscisse x„. On a donné le nom à^pûIe à ce point 

 et celui de droite polaire hp-=a':xo. H y a également des pôles sur 

 l'axe des y et des polaires perpendiculaires à cet axe. Consultez à 

 ce sujet le Mémoire de M. Lecoinle sur la polaire , inséré dans les 

 Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liège. 



16. Si on cherche la droile y=nx-\-/i qui coupe aux mêmes points 

 l'ellipse a'y'+i'a;" = o'4= et l'hyperbole c'xy — a''ky — b^lx , ou 

 trouve, en procédant absolument de la même manière que dans 

 le n° précédent, 



