20 J. Mautysowski. — De la comtr uclion 



(a M'+f')£'+2o-«/i-jîH-a'(A"— A) =o (39). 



((i'«'+A')i/'— 2A=A2/+*"(^'— «'»')=o (40). 



c'nx'-\-{h''l — a''kn-\-cUi)K — a'kh = o (^O- 



c'y' -\-{,b'l— a'kn+c'h)ij-~ùHli^o (42). 



En égalanl la demi-somme et le produit des racines en x cl y , 



on trouve 



a^iih b'I — ank-]-cli 



x.= ■ — = r ;43). 



a'}V-\-b^ le II 



b"h b t — a-kii — c'/i , . 



^■ = -^::PT^= 2? (^^)- 



h'—b- kh 



a'n'-Y b' c'it 



h' — a'n" kl 



(45). 

 (46). 



a'n'-'rb' c 



Lis deux dernières équations donnent 



c'n/j'-4-A(a'«-'+i=)A— i=c^n=o (47). 



c'A'-f-?(a'»'+i')A— a-c'n=o. (48). 



En éliminant le dernier puis le premier terme, dans ces équations 

 en h , on trouve 



c'(a'w= — b')h=—{v.'kn — i'i)(a'/j'H-i') , 



(Ji — Zn)(o'n'4-i=)A = — c=«(o=n'— i')- ( 

 Donc, en divisant membre à membre , on aura 



c''n(a^-n~-'-b'Y = [k—ln]{a^hi—b'ï){a'iv--\-b'y ... (50). 



équation du sixième degré en n. Au moyen de cette équation, on 

 détermine les directions de côtés du quadrilatère passant par les 

 pieds de quatre normales, et les din étions des diagonales de ce 

 quadrilatère. 



Remarque. I. Si on résout l'équation ci-dessus (39), par rapport 



à X, on trouve a'n'-i-b'—h' sous le radical. Selon que a^n^-i-b^^h', 



la droite coupe ou ne coupe pas l'ellipse. Si o'b=+A'=/(' , la droite 

 i/=na-+A est tangente à l'ellipse. 



II. En posant a Ji -f 4= = A', dans les équations (45) et (46), on 

 trouve aisément 



a'hi^=b'k, lh^ = ~b'c\ 



C'est le cas du probicrae des trois normales , n° 12. 



